Сколько первообразных корней существует по модулю 13?

Question

Вопрос:

Сколько первообразных корней существует по модулю 13?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Первообразный корень по модулю n существует тогда и только тогда, когда n = 2, 4, p^k или 2*p^k, где p — нечетное простое число, а k ≥ 1. В данном случае n = 13, которое является простым числом. Количество первообразных корней по модулю p равно φ(p-1), где φ — функция Эйлера.

Пошаговое решение:

Модуль 13 является простым числом (p=13).
Количество первообразных корней по модулю простого числа p равно \( \phi(p-1) \).
В данном случае p-1 = 13-1 = 12.
Нам нужно найти \( \phi(12) \).
Разложим 12 на простые множители: \( 12 = 2^2 \cdot 3 \).
Используем формулу для функции Эйлера: \( \phi(n) = n \prod_{p|n} (1 - \frac{1}{p}) \), где произведение берется по всем простым делителям n.
\( \phi(12) = 12 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{3}) \)
\( \phi(12) = 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \)
\( \phi(12) = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4 \)

Ответ: 4