Сколько различных чётных четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5, 6, 7, если каждую цифру можно использовать в записи не более одного раза?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть количество вариантов для каждой цифры в числе, учитывая, что число должно быть четным и цифры не должны повторяться.

1. Определение возможных цифр на последнем месте (разряд единиц):

   Для того чтобы число было четным, последняя цифра должна быть четной. Из предложенных цифр (1, 2, 3, 5, 6, 7) четными являются 2 и 6. Таким образом, на последнем месте может стоять одна из двух цифр (2 варианта).

2. Определение возможных цифр на первом месте (разряд тысяч):

   После выбора цифры для последнего места, остается 5 цифр. Любая из этих 5 цифр может стоять на первом месте.

3. Определение возможных цифр на втором месте (разряд сотен):

   После выбора цифр для первого и последнего мест, остается 4 цифры. Любая из этих 4 цифр может стоять на втором месте.

4. Определение возможных цифр на третьем месте (разряд десятков):

   После выбора цифр для первого, второго и последнего мест, остается 3 цифры. Любая из этих 3 цифр может стоять на третьем месте.

5. Расчет общего количества вариантов:

   Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:

   $$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$$

Таким образом, можно записать 120 различных четных четырехзначных чисел, используя предложенные цифры не более одного раза.

Ответ: 120