Сколько различных элементарных событий с тремя успехами в серии из семи испытаний Бернулли?

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Количество способов выбрать 3 успеха из 7 испытаний равно числу сочетаний из 7 по 3.

Формула для числа сочетаний \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), где \( n \) — общее число испытаний, \( k \) — число успехов.

В данном случае \( n=7 \) и \( k=3 \).

Рассчитаем:

\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3 \times 2 \times 1 \times 4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \frac{210}{6} = 35 \]

Проверка:

Мы ищем количество комбинаций, где есть ровно 3 "успеха" (например, "О") и 4 "неудачи" (например, "Н") в последовательности из 7 испытаний. Всего таких уникальных последовательностей:

OOOO ННН

OOOНОНН

... и так далее.

Число сочетаний \( C(7,3) \) дает нам именно это количество.

Ответ: 35