Сколько решений имеет система { |x| + |y| = 1, |y| = |x|?

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} |x| + |y| = 1 \\ |y| = |x| \end{cases} $$ Подставим второе уравнение в первое:

$$ |x| + |x| = 1 $$

$$ 2|x| = 1 $$

$$ |x| = \frac{1}{2} $$

$$ x = \pm \frac{1}{2} $$

Так как $$ |y| = |x| $$, то $$ |y| = \frac{1}{2} $$

$$ y = \pm \frac{1}{2} $$

Теперь рассмотрим все возможные комбинации знаков для x и y, учитывая, что $$ |x| + |y| = 1 $$

1. $$ x = \frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} $$. Проверка: $$ |\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$. $$ |y| = |x| $$, $$ |\frac{1}{2}| = |\frac{1}{2}| $$. Это решение.
2. $$ x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2} $$. Проверка: $$ |\frac{1}{2}| + |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$. $$ |y| = |x| $$, $$ |-\frac{1}{2}| = |\frac{1}{2}| $$. Это решение.
3. $$ x = -\frac{1}{2}, y = \frac{1}{2} $$. Проверка: $$ |-\frac{1}{2}| + |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$. $$ |y| = |x| $$, $$ |\frac{1}{2}| = |-\frac{1}{2}| $$. Это решение.
4. $$ x = -\frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2} $$. Проверка: $$ |-\frac{1}{2}| + |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$. $$ |y| = |x| $$, $$ |-\frac{1}{2}| = |-\frac{1}{2}| $$. Это решение.

Таким образом, у системы 4 решения.

Ответ: 4