Сколько решений имеет система { S|x - y| + |x + y| = 1, y = |x| - 1?

Рассмотрим систему уравнений:

\begin{cases} |x - y| + |x + y| = 1, \\ y = |x| - 1. \end{cases}

Подставим второе уравнение в первое:

|x - (|x| - 1)| + |x + |x| - 1| = 1

Рассмотрим два случая:

1. Если x \ge 0, то |x| = x:

   |x - (x - 1)| + |x + x - 1| = 1

   |1| + |2x - 1| = 1

   1 + |2x - 1| = 1

   |2x - 1| = 0

   2x - 1 = 0

   x = \frac{1}{2}

   Тогда y = |\frac{1}{2}| - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

   Получаем решение (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})

2. Если x < 0, то |x| = -x:

   |x - (-x - 1)| + |x - x - 1| = 1

   |2x + 1| + |-1| = 1

   |2x + 1| + 1 = 1

   |2x + 1| = 0

   2x + 1 = 0

   x = -\frac{1}{2}

   Тогда y = |- \frac{1}{2}| - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

   Получаем решение (- \frac{1}{2}, -\frac{1}{2})

Проверим полученные решения:

1. (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}):

   |\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| + |\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})| = |1| + |0| = 1

   -\frac{1}{2} = |\frac{1}{2}| - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

2. (- \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}):

   |-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})| + |-\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})| = |0| + |-1| = 1

   -\frac{1}{2} = |-\frac{1}{2}| - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}

Оба решения удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: 2