Сколько решений имеет уравнение?\n\n$$ \frac{2x-9}{x-3} - \frac{x-1}{x+3} = 0 $$

Решение:

• Приведем уравнение к общему знаменателю:
• $$ \frac{(2x-9)(x+3) - (x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 $$
• Раскроем скобки в числителе:
• $$ (2x^2 + 6x - 9x - 27) - (x^2 - 3x - x + 3) = 0 $$
• $$ 2x^2 - 3x - 27 - (x^2 - 4x + 3) = 0 $$
• $$ 2x^2 - 3x - 27 - x^2 + 4x - 3 = 0 $$
• Приведем подобные слагаемые:
• $$ x^2 + x - 30 = 0 $$
• Найдем дискриминант квадратного уравнения:
• $$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 $$
• Найдем корни уравнения:
• $$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $$
• $$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$
• Проверим, не равны ли знаменатели нулю при найденных корнях:
• При $$x = -6$$: $$x-3 = -6-3 = -9
  eq 0$$, $$x+3 = -6+3 = -3
  eq 0$$.
• При $$x = 5$$: $$x-3 = 5-3 = 2
  eq 0$$, $$x+3 = 5+3 = 8
  eq 0$$.
• Оба корня подходят.

Ответ: 2