Сколько существует четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 5, 7 так, чтобы все цифры в числе были различными, а само число при этом делилось на 5?

Решение:

Нам нужно составить четырехзначные числа из цифр 0, 2, 4, 5, 7 так, чтобы все цифры были различными и число делилось на 5. Число делится на 5, если оканчивается на 0 или 5.

Рассмотрим два случая:

1. Число оканчивается на 0:
• Последняя цифра — 0 (1 вариант).
• Первая цифра (тысячи) не может быть 0 (она уже использована) и должна быть выбрана из оставшихся 4 цифр (4 варианта).
• Вторая цифра (сотни) может быть любой из оставшихся 3 цифр (3 варианта).
• Третья цифра (десятки) может быть любой из оставшихся 2 цифр (2 варианта).
• Количество таких чисел: \( 4 × 3 × 2 × 1 = 24 \).
2. Число оканчивается на 5:
• Последняя цифра — 5 (1 вариант).
• Первая цифра (тысячи) не может быть 0 и не может быть 5 (так как 5 уже использована). Значит, есть 3 варианта для первой цифры (2, 4, 7).
• Вторая цифра (сотни) может быть любой из оставшихся 3 цифр (включая 0).
• Третья цифра (десятки) может быть любой из оставшихся 2 цифр.
• Количество таких чисел: \( 3 × 3 × 2 × 1 = 18 \).

Общее количество таких чисел равно сумме чисел из обоих случаев:

\( 24 + 18 = 42 \)

Ответ: 42