Сколько существует четырёхзначных чисел, не кратных 2017, в которых нужно обязательно изменить все четыре цифры, чтобы получить ненулевое число, кратное 2017?

Краткое пояснение:

Задача сводится к поиску четырехзначных чисел, которые при перестановке своих цифр дают другое четырехзначное число, кратное 2017. Это значит, что оба числа должны иметь одинаковую сумму цифр и одинаковый остаток при делении на 9 (так как число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9).

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Анализ условия. Ищем четырехзначные числа N, такие что: 1) N не кратно 2017. 2) Существует другое четырехзначное число M, полученное перестановкой цифр N, такое что M кратно 2017. 3) Цифры N и M различны.
2. Шаг 2: Четырехзначные числа, кратные 2017. Единственное четырехзначное число, кратное 2017, — это само число 2017.
3. Шаг 3: Перестановка цифр числа 2017. Цифры числа 2017 — это 2, 0, 1, 7. Все возможные перестановки этих цифр, которые образуют четырехзначные числа: 1027, 1072, 1207, 1270, 1702, 1720, 2017, 2071, 2107, 2170, 2701, 2710, 7012, 7021, 7102, 7120, 7201, 7210.
4. Шаг 4: Проверка условия 'ненулевое число, кратное 2017'. Из перечисленных выше чисел, только 2017 кратно 2017.
5. Шаг 5: Проверка условия 'изменить все четыре цифры'. Если исходное число — 2017, то перестановкой цифр мы получим либо само число 2017 (если цифры не меняются), либо другие числа. Нам нужно найти исходное число N, чтобы его перестановка дала 2017, и при этом N ≠ 2017, а цифры в N и 2017 были всеми четыре изменены (то есть N ≠ 2017).
6. Шаг 6: Поиск исходных чисел. Ищем такие четырехзначные числа N, что: a) N ≠ 2017. b) Перестановка цифр N дает 2017. c) Все цифры N отличны от цифр 2017 (т.е. N не может быть образовано из цифр 2, 0, 1, 7). Это последнее условие противоречит пункту b. Если перестановка цифр N дает 2017, то цифры N должны быть 2, 0, 1, 7.
7. Шаг 7: Интерпретация условия 'изменить все четыре цифры'. Это означает, что исходное число N и полученное число M (кратное 2017) должны отличаться во всех четырех позициях. То есть, если N = d1 d2 d3 d4, и M = m1 m2 m3 m4, то d1≠m1, d2≠m2, d3≠m3, d4≠m4.
8. Шаг 8: Поиск чисел, кратных 2017. Четырехзначные числа, кратные 2017: 2017 * 1 = 2017, 2017 * 2 = 4034, 2017 * 3 = 6051, 2017 * 4 = 8068.
9. Шаг 9: Проверка условия 'изменить все четыре цифры'.
• Рассмотрим M = 2017. Ищем N, такое что перестановка цифр N дает 2017, и N ≠ 2017, и N отличается от 2017 во всех позициях. Цифры N должны быть 2, 0, 1, 7. Все перестановки, отличные от 2017, например 7102. Цифры 7102 отличаются от 2017 во всех позициях: 7≠2, 1≠0, 0≠1, 2≠7. Такие числа N, перестановкой которых получается 2017, являются: 1027, 1072, 1207, 1270, 1702, 1720, 2071, 2107, 2170, 2701, 2710, 7012, 7021, 7102, 7120, 7201, 7210. Все эти числа не кратны 2017.
• Рассмотрим M = 4034. Ищем N, такое что перестановка цифр N дает 4034, и N ≠ 4034, и N отличается от 4034 во всех позициях. Цифры N должны быть 4, 0, 3, 4. Единственное число, образованное перестановкой этих цифр, которое кратно 2017, это 4034. Если N = 4034, то M = 4034. Условие 'изменить все четыре цифры' не выполняется.
• Рассмотрим M = 6051. Ищем N, такое что перестановка цифр N дает 6051, и N ≠ 6051, и N отличается от 6051 во всех позициях. Цифры N должны быть 6, 0, 5, 1. Единственное число, образованное перестановкой этих цифр, которое кратно 2017, это 6051. Если N = 6051, то M = 6051. Условие 'изменить все четыре цифры' не выполняется.
• Рассмотрим M = 8068. Ищем N, такое что перестановка цифр N дает 8068, и N ≠ 8068, и N отличается от 8068 во всех позициях. Цифры N должны быть 8, 0, 6, 8. Единственное число, образованное перестановкой этих цифр, которое кратно 2017, это 8068. Если N = 8068, то M = 8068. Условие 'изменить все четыре цифры' не выполняется.
10. Шаг 10: Подсчет. Мы нашли 17 чисел (все перестановки 2017, кроме самого 2017), которые при перестановке дают 2017, и сами не кратны 2017. И для каждой из этих 17 перестановок N, число M=2017 отличается от N во всех позициях.

Ответ: 17