6. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, причём цифры в записи числа не повторяются? 7. Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета? 8. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танцев? 9. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа? 10. Сколькими вариантов расписания уроков возможно составить, если в этот день будут уроки : математика, физика, информатика, литература, физкультура, биология, география? 11. Сколькими способами можно разделить группу дежурных из 17 учащихся, так чтобы шесть человек направить в столовую, а остальных — следить за порядком в коридорах?

Задача 6: Четырехзначные числа из цифр 1, 2, 3

Давай разберем по порядку. Нам нужно составить четырехзначные числа, используя цифры 1, 2, 3, и чтобы цифры не повторялись.

Для первой цифры у нас есть 3 варианта (1, 2 или 3). После выбора первой цифры, для второй остается 2 варианта. Затем для третьей цифры остается только 1 вариант. И, наконец, для четвертой цифры у нас нет вариантов, так как все цифры уже использованы. Но так как у нас всего 3 цифры, а число должно быть четырехзначным, то в условии есть ошибка. Допустим, что можно использовать цифру 4.

Тогда, для первой цифры у нас есть 4 варианта (1, 2, 3 или 4). После выбора первой цифры, для второй остается 3 варианта. Затем для третьей цифры остается 2 варианта. И, наконец, для четвертой цифры остается только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой позиции:4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Ответ: 24 (если можно использовать цифру 4)

Задача 7: Четырехцветный флаг

Здесь нужно определить, сколькими способами можно составить флаг из четырех горизонтальных полос, используя четыре различных цвета.

Для верхней полосы у нас есть 4 варианта цвета. После выбора цвета для верхней полосы, для второй полосы остается 3 варианта цвета. Затем для третьей полосы остается 2 варианта. И, наконец, для нижней полосы остается только 1 вариант.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждой полосы: 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Ответ: 24

Задача 8: Пары для танцев

На вечере 12 девушек и 15 юношей. Нужно выбрать 4 пары для танцев.

Сначала выберем 4 девушек из 12. Количество способов это сделать:C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495

Затем выберем 4 юношей из 15. Количество способов это сделать:C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365

Теперь каждой из 4 выбранных девушек нужно найти пару из 4 выбранных юношей. Количество способов это сделать: 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

Общее количество способов выбрать 4 пары: 495 \times 1365 \times 24 = 16115400

Ответ: 16115400

Задача 9: Выбор ручек для чертежа

Имеется 5 ручек разных цветов, и нужно выбрать 3 из них для обводки чертежа.

Здесь мы используем сочетания, так как порядок выбора не важен:C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Ответ: 10

Задача 10: Варианты расписания уроков

Нужно составить расписание из 7 уроков (математика, физика, информатика, литература, физкультура, биология, география).

Здесь важен порядок уроков, поэтому используем перестановки:P(7) = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040

Ответ: 5040

Задача 11: Разделение дежурных

Из 17 учащихся нужно выбрать 6 человек в столовую, а остальные будут следить за порядком в коридорах.

Здесь мы выбираем 6 человек из 17, порядок не важен:C(17, 6) = \frac{17!}{6!(17-6)!} = \frac{17!}{6!11!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12376

Ответ: 12376

Ответ: 24 (если можно использовать цифру 4), 24, 16115400, 10, 5040, 12376