6. Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1,2,3,4,5, причём цифры в записи числа не повторяются? 7. Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета? 8. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танцев? 9. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа? 10. Сколькими вариантов расписания уроков возможно составить, если в этот день будут уроки : математика, физика, информатика, литература, физкультура, биология, география? 11. Сколькими способами можно разделить группу дежурных из 17 учащихся, так чтобы шесть человек направить в столовую, а остальных — следить за порядком в коридорах?

Привет! Давай решим эти интересные задачи по порядку.

Задача 6: Четырёхзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторений)

Давай разберем по порядку. У нас есть 5 цифр, из которых нужно составить четырёхзначное число, при этом цифры не должны повторяться. Это задача на перестановки.

Для первой цифры у нас есть 5 вариантов выбора, для второй – 4 варианта (так как одну цифру мы уже использовали), для третьей – 3 варианта, и для последней – 2 варианта.

Таким образом, общее количество четырёхзначных чисел можно найти, перемножив количество вариантов для каждой позиции:

\[ 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120 \]

Ответ: 120

Задача 7: Четырёхцветный флаг из полос

Нам нужно составить флаг из четырёх полос, используя четыре различных цвета. Порядок цветов важен, так как от этого зависит, какой флаг получится. Это тоже задача на перестановки.

Для первой полосы у нас есть 4 варианта цвета, для второй – 3 варианта, для третьей – 2 варианта, и для последней – 1 вариант.

Общее количество вариантов флага:

\[ 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Ответ: 24

Задача 8: Выбор 4 пар для танцев

У нас есть 12 девушек и 15 юношей, и нам нужно выбрать 4 пары для танцев. Сначала выберем 4 девушек из 12, а затем 4 юношей из 15.

Количество способов выбрать 4 девушек из 12 — это сочетание из 12 по 4:

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \]

Количество способов выбрать 4 юношей из 15 — это сочетание из 15 по 4:

\[ C(15, 4) = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \]

Теперь, когда мы выбрали 4 девушек и 4 юношей, нам нужно составить пары. Количество способов составить 4 пары из 4 девушек и 4 юношей — это количество перестановок 4 элементов, то есть 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Общее количество способов выбрать 4 пары:

\[ 495 \times 1365 \times 24 = 16115400 \]

Ответ: 16115400

Задача 9: Выбор 3 ручек из 5

У нас есть 5 ручек, и нужно выбрать 3 из них. Порядок выбора не важен, так как нам просто нужны 3 ручки для обводки чертежа. Это задача на сочетания.

Количество способов выбрать 3 ручки из 5 — это сочетание из 5 по 3:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Ответ: 10

Задача 10: Расписание уроков

У нас есть 7 различных уроков, и нужно составить расписание на день. Порядок уроков важен, поэтому это задача на перестановки.

Количество способов составить расписание из 7 уроков — это количество перестановок 7 элементов, то есть 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040.

\[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \]

Ответ: 5040

Задача 11: Разделение дежурных

У нас есть 17 учащихся, и нужно выбрать 6 человек в столовую, а остальные будут следить за порядком в коридорах. Порядок выбора не важен, так как важно только, кто пойдёт в столовую.

Количество способов выбрать 6 человек из 17 — это сочетание из 17 по 6:

\[ C(17, 6) = \frac{17!}{6!(17-6)!} = \frac{17!}{6!11!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12376 \]

Ответ: 12376

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!