Сколько существует натуральных чисел, в 31 раз больших своего наименьшего собственного делителя? Делитель называется собственным, если он больше 1, но меньше самого числа.

Решение:

Обозначим искомое натуральное число как \( N \). Пусть \( d \) — наименьший собственный делитель числа \( N \). По условию задачи \( N = 31d \).

Наименьший собственный делитель натурального числа \( N \) — это наименьший простой множитель числа \( N \), если \( N \) не является простым числом. Если \( N \) — простое число, то его единственным собственным делителем является 1.

Случай 1: \( N \) — простое число.

Наименьший собственный делитель простого числа — это 1. Тогда \( N = 31 \cdot 1 = 31 \). Число 31 является простым. Его наименьший собственный делитель равен 1. Проверим условие: \( 31 = 31 \cdot 1 \). Условие выполнено.

Случай 2: \( N \) — составное число.

Наименьший собственный делитель \( d \) составного числа \( N \) должен быть простым числом. По условию \( N = 31d \).

Если \( d = 31 \), то \( N = 31 \cdot 31 = 961 \). Число 961 составное. Его наименьший простой делитель — 31. Собственные делители числа 961 — это 1 и 31. Наименьший собственный делитель — 1. Но по условию \( N = 31d \), где \( d \) — наименьший собственный делитель. В этом случае \( 961 \neq 31 \cdot 1 \), а \( 961 = 31 \cdot 31 \). Мы ищем число, которое в 31 раз больше своего НАИМЕНЬШЕГО СОБСТВЕННОГО делителя. Если \( N=961 \), то его наименьший собственный делитель — 1. Тогда \( 961 \neq 31 \times 1 \). А если считать \( d=31 \) наименьшим собственным делителем, то \( N=31 \times 31 = 961 \). Но наименьшим собственным делителем 961 является 1, а не 31.

Рассмотрим утверждение \( N = 31d \), где \( d \) — наименьший собственный делитель \( N \).

Если \( d \) — наименьший собственный делитель \( N \), то \( d \) должен быть простым числом.

Если \( d \) — простой множитель числа \( N \), то \( N = kd \) для некоторого \( k \).

Условие: \( N = 31d \), где \( d \) — наименьший собственный делитель \( N \).

Рассмотрим число \( N = 31p \), где \( p \) — простое число.

• Если \( p = 31 \), то \( N = 31 \cdot 31 = 961 \). Наименьший собственный делитель 961 — это 1. Тогда \( N \) должно быть в 31 раз больше 1, то есть \( N=31 \). Но \( N=961 \). Противоречие.
• Если \( p \) — другое простое число, отличное от 31. Например, \( p=2 \). Тогда \( N = 31 \times 2 = 62 \). Наименьший собственный делитель числа 62 — это 2. Тогда \( N \) должно быть в 31 раз больше 2, то есть \( N = 31 \times 2 = 62 \). Условие \( N=31d \) выполняется, где \( d=2 \) — наименьший собственный делитель 62. Число 62 подходит.
• Аналогично, если \( p=3 \), \( N = 31 \times 3 = 93 \). Наименьший собственный делитель 93 — это 3. \( 93 = 31 \times 3 \). Число 93 подходит.
• Если \( p=5 \), \( N = 31 \times 5 = 155 \). Наименьший собственный делитель 155 — это 5. \( 155 = 31 \times 5 \). Число 155 подходит.
• Если \( p=31 \) — простое число, и \( d=p \) — наименьший собственный делитель \( N=31p \).

Вывод:

1. Если \( N \) — простое число, то его наименьший собственный делитель равен 1. Тогда \( N = 31 \times 1 = 31 \). Число 31 — простое, его наименьший собственный делитель — 1. Условие \( 31 = 31 \times 1 \) верно. Значит, число 31 — одно из таких чисел.

2. Если \( N \) — составное число, и его наименьший собственный делитель — \( d \), то \( N = 31d \).

* Если \( d=31 \), то \( N = 31 \times 31 = 961 \). Наименьший собственный делитель 961 — это 1. Тогда \( 961 \neq 31 \times 1 \). Это число не подходит.

* Если \( d \) — наименьший простой делитель числа \( N \), и \( N = 31d \). Так как \( d \) — наименьший простой делитель \( N \), то \( d \) должно быть меньше или равно 31.

* Если \( d < 31 \) и \( d \) — простое число, то \( N = 31d \). Наименьший собственный делитель \( N \) будет \( d \) (так как \( d < 31 \)). Тогда \( N \) действительно в 31 раз больше своего наименьшего собственного делителя \( d \). Любое число вида \( 31p \), где \( p \) — простое число, \( p < 31 \), удовлетворяет условию. Таких простых чисел \( p \) (меньше 31): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Всего 10 таких чисел.

* Если \( d=31 \), то \( N = 31 \times 31 = 961 \). Наименьший собственный делитель 961 — это 1. Не подходит.

Таким образом, есть одно простое число (31) и 10 составных чисел вида \( 31p \), где \( p \) — простое число < 31.

Всего таких чисел: \( 1 + 10 = 11 \).

Проверка:

Числа: 31, 62 (31*2), 93 (31*3), 155 (31*5), 217 (31*7), 341 (31*11), 403 (31*13), 527 (31*17), 589 (31*19), 713 (31*23), 899 (31*29).

1. Для \( N=31 \): наименьший собственный делитель = 1. \( 31 = 31 \times 1 \). Подходит.

2. Для \( N=62=2 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 2. \( 62 = 31 \times 2 \). Подходит.

3. Для \( N=93=3 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 3. \( 93 = 31 \times 3 \). Подходит.

4. Для \( N=155=5 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 5. \( 155 = 31 \times 5 \). Подходит.

5. Для \( N=217=7 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 7. \( 217 = 31 \times 7 \). Подходит.

6. Для \( N=341=11 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 11. \( 341 = 31 \times 11 \). Подходит.

7. Для \( N=403=13 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 13. \( 403 = 31 \times 13 \). Подходит.

8. Для \( N=527=17 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 17. \( 527 = 31 \times 17 \). Подходит.

9. Для \( N=589=19 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 19. \( 589 = 31 \times 19 \). Подходит.

10. Для \( N=713=23 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 23. \( 713 = 31 \times 23 \). Подходит.

11. Для \( N=899=29 \times 31 \): наименьший собственный делитель = 29. \( 899 = 31 \times 29 \). Подходит.

Ответ: 11