Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Сколько существует различных путей из города А в город К, проходящих через город Д?Фото задания

Ответ:

Решение:

Для решения задачи будем считать количество путей, ведущих в каждый город, начиная с города А. Стрелки на схеме указывают допустимое направление движения.

  1. Из А:
    A → Б: 1 путь
    A → В: 1 путь
  2. Из Б:
    Б → Д: 1 путь (из А через Б)
    Всего в Д через Б: 1
  3. Из В:
    В → Д: 1 путь (из А через В)
    В → Е: 1 путь (из А через В)
    Всего в Д через В: 1
  4. В Д:
    Пути, ведущие в Д: А → Б → Д (1 путь) и А → В → Д (1 путь).
    Общее количество путей в город Д: \( 1 + 1 = 2 \) пути.
  5. Из Д:
    Д → Ж: 2 пути (так как в Д ведет 2 пути)
    Д → Е: 2 пути (так как в Д ведет 2 пути)
  6. Из Ж:
    Ж → К: 2 пути (так как в Ж ведет 2 пути)
  7. Из Е:
    Е → Ж: 2 пути (так как в Е ведет 2 пути)
    Е → К: 2 пути (так как в Е ведет 2 пути)
  8. В К:
    Пути, ведущие в К:
    А → Б → Д → Ж → К (1 путь)
    А → В → Д → Ж → К (1 путь)
    А → Б → Д → Е → Ж → К (1 путь)
    А → В → Д → Е → Ж → К (1 путь)
    А → В → Д → Е → К (1 путь)
    Таким образом, общее количество путей в город К через город Д будет суммой путей, проходящих через Е и Ж из Д, и путей, проходящих через Е из Д в К.
    Пути через Ж: (Пути в Д) * (Пути из Д в Ж) * (Пути из Ж в К) = \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) путей.
    Пути через Е (не через Ж): (Пути в Д) * (Пути из Д в Е) * (Пути из Е в К) = \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) путей.
    Однако, у нас есть также пути из Д в Е, а затем в Ж, а затем в К, а также из Д в Е, а затем прямо в К.
    Давайте пересчитаем более систематично, фокусируясь на прохождении через Д:
    Пути из А в Д: 2.
    Из Д мы можем пойти в Е или Ж.
    1. Путь через Д → Е:
    - А → В → Д → Е (2 пути в Е)
    - А → Б → Д → Е (2 пути в Е)
    Всего 2 пути в Д, значит 2 пути в Е из Д.
    - Из Е напрямую в К: 2 пути * 1 = 2 пути.
    - Из Е в Ж, потом в К: 2 пути * (пути из Е в Ж) * (пути из Ж в К) = 2 * 1 * 2 = 4 пути.
    Итого через Д → Е → К и Д → Е → Ж → К: \( 2 + 4 = 6 \) путей.
    2. Путь через Д → Ж:
    - А → Б → Д → Ж (2 пути в Ж)
    - А → В → Д → Ж (2 пути в Ж)
    Всего 2 пути в Д, значит 2 пути в Ж из Д.
    - Из Ж напрямую в К: 2 пути * 1 = 2 пути.
    - Из Ж в Е, потом в К: (путей в Ж из Д) * (путей из Ж в Е) * (путей из Е в К) - таких путей нет, стрелки идут из Е в Ж, а не наоборот.
    - Из Ж в К: 2 пути.
    Всего через Д → Ж → К: \( 2 \times 2 = 4 \) пути.
    Суммируем пути, проходящие через Д:
    Пути, ведущие в Д: 2.
    Из Д в Е: 2 пути.
    Из Д в Ж: 2 пути.
    Количество путей из А в К, проходящих через Д:
    Пути А → ... → Д → Е → К: 2 пути * 1 = 2
    Пути А → ... → Д → Е → Ж → К: 2 пути * 1 * 2 = 4
    Пути А → ... → Д → Ж → К: 2 пути * 2 = 4
    Всего: \( 2 + 4 + 4 = 10 \) путей.
    Давайте перепроверим, используя прямое суммирование.
    Пути из А в Д: 2.
    Пути из Д в К (через Е или Ж):
    Д→Е→К: 2 * 1 = 2 пути.
    Д→Е→Ж→К: 2 * 1 * 2 = 4 пути.
    Д→Ж→К: 2 * 2 = 4 пути.
    Сумма путей из А в К, проходящих через Д: \( 2 + 4 + 4 = 10 \) путей.

    Ответ: 10