Сколько существует целых значений параметра с, при которых уравнение (с 2)² + 2(с 2)2 + 2 = 0 не имеет действительных решений?

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем уравнение в виде \[(c-2)x^2 + 2(c-2)x + 2 = 0\]
• Шаг 2: Найдем дискриминант уравнения: \[D = b^2 - 4ac = (2(c-2))^2 - 4(c-2)(2) = 4(c-2)^2 - 8(c-2)\]
• Шаг 3: Упростим дискриминант: \[D = 4(c^2 - 4c + 4) - 8c + 16 = 4c^2 - 16c + 16 - 8c + 16 = 4c^2 - 24c + 32\]
• Шаг 4: Для отсутствия действительных решений необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля: \[4c^2 - 24c + 32 < 0\] Разделим обе части неравенства на 4: \[c^2 - 6c + 8 < 0\]
• Шаг 5: Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения \[c^2 - 6c + 8 = 0\] Дискриминант \[D_c = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\] Корни \[c_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\] и \[c_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]
• Шаг 6: Решением неравенства \[c^2 - 6c + 8 < 0\] является интервал между корнями: \[2 < c < 4\]
• Шаг 7: Найдем целые значения \[c\] в интервале \[(2, 4)\]. Единственное целое значение \[c = 3\]
• Шаг 8: Проверим, что при \[c = 2\] уравнение становится линейным, а не квадратным. В этом случае уравнение принимает вид \[0x^2 + 0x + 2 = 0\] или \[2 = 0\] - что не имеет решений. При \[c = 4\] уравнение принимает вид \[2x^2 + 4x + 2 = 0\] или \[x^2 + 2x + 1 = 0\] или \[(x+1)^2 = 0\] - что имеет решение \[x = -1\] Следовательно, \[c = 3\] является единственным целым значением, при котором уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: 1