17. Сколько целых чисел от 1 до 1000 (включительно) обладают следующим свойством: произведение их цифр делится на 3, но не делится на 9? 1ден 1000ге чейинки (1000 кошо эсептелет) сандардын ичинен цифраларынын көбөйтүндүсү Зкө бөлүнгөн, бирок 9га бөлүнбөгөн канча сан бар? How many integers from 1 to 1000 (inclusive) have the following property: the product of their digits is divisible by 3 but not divisible by 9?

Чтобы решить эту задачу, необходимо рассмотреть числа от 1 до 1000 и определить, какие из них удовлетворяют условию: произведение их цифр делится на 3, но не делится на 9.

Для удобства разделим числа на группы: однозначные, двузначные и трехзначные.

1. Однозначные числа:

• Числа, делящиеся на 3, но не делящиеся на 9: 3 и 6. (2 числа)

2. Двузначные числа:

Произведение цифр должно делиться на 3, но не делиться на 9. Это значит, что в числе должна быть одна цифра, делящаяся на 3 (3 или 6), а другая не должна делиться на 3.

• Числа, содержащие 3 или 6, и не содержащие 0, 9, 3 или 6 в другой позиции:

Пусть одна из цифр 3 или 6, тогда вторая цифра может быть 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Например, если первая цифра 3, то вторая может быть 1, 2, 4, 5, 7, 8. Получаем 31, 32, 34, 35, 37, 38 (6 чисел)

Если первая цифра 6, то вторая может быть 1, 2, 4, 5, 7, 8. Получаем 61, 62, 64, 65, 67, 68 (6 чисел)

Если вторая цифра 3, то первая может быть 1, 2, 4, 5, 7, 8. Получаем 13, 23, 43, 53, 73, 83 (6 чисел)

Если вторая цифра 6, то первая может быть 1, 2, 4, 5, 7, 8. Получаем 16, 26, 46, 56, 76, 86 (6 чисел)

Всего двузначных чисел: 6 + 6 + 6 + 6 = 24

3. Трехзначные числа:

Произведение цифр должно делиться на 3, но не делиться на 9.

Возможные варианты:

Одна цифра 3 или 6, остальные не делятся на 3.

Если первая цифра 3, остальные 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Если первая цифра 6, остальные 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Если одна цифра 3 или 6, другие не делятся на 3.

Например, число 1000 не подходит, так как произведение его цифр равно 0, а 0 делится на 3, но не делится на 9.

Для трёхзначных чисел:

• Одна цифра 3, остальные не делятся на 3 (т.е. 1, 2, 4, 5, 7, 8):

Варианты расположения 3: 3XY, X3Y, XY3.

Для каждой позиции 3, две другие цифры выбираем из 1, 2, 4, 5, 7, 8 (6 вариантов).

3 * 6 * 6 = 108 чисел

• Одна цифра 6, остальные не делятся на 3 (т.е. 1, 2, 4, 5, 7, 8):

Аналогично: 6XY, X6Y, XY6.

Для каждой позиции 6, две другие цифры выбираем из 1, 2, 4, 5, 7, 8 (6 вариантов).

3 * 6 * 6 = 108 чисел

Итого трехзначных чисел: 108 + 108 = 216

Суммарное количество чисел: 2 (однозначные) + 24 (двузначные) + 216 (трехзначные) = 242

Число 1000 не учитывается, так как произведение его цифр равно 0, а 0 делится на 3, но не делится на 9.

Ответ: 242