Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону v(1) = 8 sin (см/с), где время в секундах. Какую долю времени первой 3 секунды скорость движения превышала 4 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых. Ответ

Ответ: 0.33

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Запишем неравенство, выражающее условие задачи: \[8\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) > 4\]
• Шаг 2: Разделим обе части неравенства на 8: \[\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) > \frac{1}{2}\]
• Шаг 3: Найдем значения аргумента, при которых синус равен 1/2: \[\frac{\pi t}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad \frac{\pi t}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
• Шаг 4: Выразим t: \[t = \frac{1}{2} + 6k, \quad t = \frac{5}{2} + 6k, \quad k \in \mathbb{Z}\]
• Шаг 5: Учитывая, что нам нужна первая секунда, рассмотрим значения t в интервале (0, 1): \[\frac{\pi}{6} < \frac{\pi t}{3} < \frac{5\pi}{6}\] \[\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{\pi} < t < \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{\pi}\] \[\frac{1}{2} < t < \frac{5}{2}\]
• Шаг 6: Решим неравенство \(\sin(\frac{\pi}{3}t) > \frac{1}{2}\) на интервале \(0 < t < 1\). Синус больше \(\frac{1}{2}\) на интервале \((\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6})\), следовательно: \[\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}t < \frac{5\pi}{6}\] Умножим на \(\frac{3}{\pi}\): \[\frac{1}{2} < t < \frac{5}{2}\] Интервал времени, когда скорость превышает 4 см/с: \((\frac{1}{2}; 1)\).
• Шаг 7: Найдем длину этого интервала: \[1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]
• Шаг 8: Выразим долю времени в виде десятичной дроби: \[\frac{1}{2} = 0.5\]

Ответ: 0.5