Скорость разрушения красящего пигмента после окрашивания волос зависит от способа окрашивания и изменяется по закону m(t) = -0,4 – 1,2t (мг/месяц). 1) Найдите функцию уменьшения количества красящего пигмента M(t), если начальная масса составляла 226 мг.

Решение:

Нам дана скорость разрушения красящего пигмента \( m(t) \), которая является производной от количества пигмента \( M(t) \):

\( m(t) = M'(t) = -0,4 - 1,2t \) (мг/месяц)

Чтобы найти функцию \( M(t) \), нужно проинтегрировать \( m(t) \) по времени \( t \):

\[ M(t) = \int m(t) dt = \int (-0,4 - 1,2t) dt \]

Проводим интегрирование:

\[ M(t) = -0,4t - 1,2 \frac{t^2}{2} + C \]

\[ M(t) = -0,4t - 0,6t^2 + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

Из условия известно, что начальная масса пигмента составляла 226 мг. Это означает, что при \( t = 0 \), \( M(0) = 226 \). Подставим эти значения в уравнение для \( M(t) \):

\[ 226 = -0,4(0) - 0,6(0)^2 + C \]

\[ 226 = C \]

Теперь подставим значение \( C \) обратно в функцию \( M(t) \):

\[ M(t) = -0,6t^2 - 0,4t + 226 \]

Эта функция описывает количество красящего пигмента в волосах через \( t \) месяцев после окрашивания.

Ответ: \( M(t) = -0,6t^2 - 0,4t + 226 \).