8. Скорость течения реки и = 1,5 м/с. Каков модуль скорости катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью и₂ = 2 м/с? (Ответ: v = 2,5 м/с.) 9. Эскалатор метро опускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? (Ответ: t = 1,5 мин.) 10. Найти радиус R маховика, если при вращении линейная скорость точек на его ободе 6 м/с, а точек, находящихся на 15 см ближе к оси вращения, равна 5,5 м/с. (Ответ: R = 1,8 м.) 11. Найти линейную скорость и центростремительное ускорение точек земной поверхности на экваторе и на широте 60°. Радиус Земли считать равным 6400 км. (Ответ: v = 233 м/с; а = 1,7° 102 м/с².) 12. При какой угловой скорости вращения Земли вес тела на экваторе стал нулевым? (Ответ: ш = 1,25 102 рад/с.) 13. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, тело будет притягиваться к ним с одинаковой силой? (Ответ: r = 54R.) 14. Три звезды массы т каждая сохраняют в своем движении конфигурацию равностороннего треугольника со стороной L. С какой угловой скоростью вращается этот треугольник? (От- 3Gm .) L3 вет: 0 = 15. Искусственный спутник, используемый в системе теле- связи, запущен в плоскости земного экватора так, что все время находится в зените над одной и той же точкой земного шара (гео- стационарный спутник). Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли, равного 6400 км? Принять g = 9,8 м/с². (Ответ: примерно в 6,7 раз.) 16. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса r = 4,7 млн км со скоростью и = 10 км/с. Какова средняя плотность планеты, если ее радиус R = 15 000 км? (Ответ: р ≈ 500 кг/м³.)

8. Скорость течения реки и катера

• Дано:
• Скорость течения реки: \( v_1 = 1.5 \) м/с
• Скорость катера перпендикулярно к берегу: \( v_2 = 2 \) м/с
• Найти: Модуль скорости катера относительно воды: \( v \)

Решение:

Модуль скорости катера относительно воды можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, где катетами являются скорость течения реки и скорость катера перпендикулярно к берегу:

\[ v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} \] \[ v = \sqrt{(1.5)^2 + (2)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \] м/с

Ответ: 2,5 м/с

9. Эскалатор

• Дано:
• Время спуска идущего человека: \( t_1 = 1 \) мин = 60 с
• Время спуска человека, идущего вдвое быстрее: \( t_2 = 45 \) с
• Найти: Время спуска стоящего человека: \( t \)

Решение:

Пусть \( L \) - длина эскалатора, \( v_e \) - скорость эскалатора, \( v_h \) - скорость человека.

Тогда:

\[ \frac{L}{v_e + v_h} = 60 \] с \[ \frac{L}{v_e + 2v_h} = 45 \] с

Разделим первое уравнение на второе:

\[ \frac{v_e + 2v_h}{v_e + v_h} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \]

Решаем уравнение относительно \( v_e \) и \( v_h \):

\[ 3(v_e + 2v_h) = 4(v_e + v_h) \] \[ 3v_e + 6v_h = 4v_e + 4v_h \] \[ v_e = 2v_h \]

Теперь найдем время спуска стоящего человека:

\[ t = \frac{L}{v_e} = \frac{L}{2v_h} \]

Из первого уравнения выразим \( L \):

\[ L = 60(v_e + v_h) = 60(2v_h + v_h) = 60(3v_h) = 180v_h \]

Подставляем в формулу для времени:

\[ t = \frac{180v_h}{2v_h} = 90 \] с = 1,5 мин

Ответ: 1,5 мин

10. Радиус маховика

• Дано:
• Линейная скорость точек на ободе: \( v_1 = 6 \) м/с
• Линейная скорость точек на 15 см ближе к оси: \( v_2 = 5.5 \) м/с
• Разница в расстоянии: \( \Delta r = 15 \) см = 0.15 м
• Найти: Радиус маховика: \( R \)

Решение:

Пусть \( R \) - радиус маховика, \( \omega \) - угловая скорость.

Тогда:

\[ v_1 = \omega R \] \[ v_2 = \omega (R - \Delta r) \]

Выразим \( \omega \) из первого уравнения и подставим во второе:

\[ \omega = \frac{v_1}{R} \] \[ v_2 = \frac{v_1}{R} (R - \Delta r) \] \[ v_2 R = v_1 R - v_1 \Delta r \] \[ (v_1 - v_2) R = v_1 \Delta r \] \[ R = \frac{v_1 \Delta r}{v_1 - v_2} \] \[ R = \frac{6 \cdot 0.15}{6 - 5.5} = \frac{0.9}{0.5} = 1.8 \] м

Ответ: 1,8 м

11. Линейная скорость и центростремительное ускорение

• Дано:
• Радиус Земли: \( R = 6400 \) км = \( 6.4 \cdot 10^6 \) м
• Найти: Линейную скорость \( v \) и центростремительное ускорение \( a \) на экваторе и на широте 60°

Решение:

Угловая скорость вращения Земли:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{24 \cdot 3600} \approx 7.27 \cdot 10^{-5} \] рад/с

На экваторе:

\[ v = \omega R = 7.27 \cdot 10^{-5} \cdot 6.4 \cdot 10^6 \approx 465 \] м/с (в условии ответ неверен, должно быть 465 м/с) \[ a = \omega^2 R = (7.27 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \approx 0.034 \] м/с²

На широте 60°:

\[ R_{60} = R \cos 60^\circ = \frac{1}{2} R \] \[ v_{60} = \omega R_{60} = \frac{1}{2} v = \frac{1}{2} 465 \approx 232.5 \] м/с (близко к ответу в условии) \[ a_{60} = \omega^2 R_{60} = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} 0.034 = 0.017 \] м/с² = 1,7 * 10^-2 м/с²

Ответ: v = 465 м/с (экватор), v = 232,5 м/с (60°); a = 0.034 м/с² (экватор), а = 0,017 м/с² (60°)

12. Угловая скорость вращения Земли

• Дано: Вес тела на экваторе стал нулевым
• Найти: Угловая скорость вращения Земли: \( \omega \)

Решение:

Вес тела на экваторе:

\[ P = mg - ma = mg - m \omega^2 R \]

Вес равен нулю:

\[ mg = m \omega^2 R \] \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{R}} = \sqrt{\frac{9.8}{6.4 \cdot 10^6}} \approx 1.24 \cdot 10^{-3} \] рад/с (в условии ответ неверен)

Ответ: 1.24 * 10^-3 рад/с

13. Расстояние между центрами Земли и Луны

• Дано:
• Расстояние между центрами: \( r_{ЗЛ} = 60 R_З \)
• Масса Луны: \( m_Л = \frac{1}{81} m_З \)
• Найти: Расстояние \( r \) от центра Земли, где силы притяжения равны

Решение:

Сила притяжения:

\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]

Силы притяжения равны:

\[ G \frac{m_З m}{r^2} = G \frac{m_Л m}{(r_{ЗЛ} - r)^2} \] \[ \frac{m_З}{r^2} = \frac{m_Л}{(60 R_З - r)^2} \] \[ \frac{m_З}{r^2} = \frac{m_З / 81}{(60 R_З - r)^2} \] \[ (60 R_З - r)^2 = \frac{1}{81} r^2 \] \[ 60 R_З - r = \pm \frac{1}{9} r \]

Рассмотрим положительный случай:

\[ 60 R_З = r + \frac{1}{9} r = \frac{10}{9} r \] \[ r = \frac{9}{10} 60 R_З = 54 R_З \]

Рассмотрим отрицательный случай:

\[ 60 R_З - r = -\frac{1}{9} r \] \[ 60 R_З = r - \frac{1}{9} r = \frac{8}{9} r \] \[ r = \frac{9}{8} 60 R_З = 67.5 R_З \]

Так как расстояние не может быть больше расстояния между Землей и Луной, то:

\[ r = 54 R_З \]

Ответ: 54 R_З

14. Три звезды

• Дано:
• Масса каждой звезды: \( m \)
• Сторона треугольника: \( L \)
• Найти: Угловая скорость вращения: \( \omega \)

Решение:

Сила притяжения между двумя звездами:

\[ F = G \frac{m^2}{L^2} \]

Равнодействующая двух сил:

\[ F_{рез} = 2F \cos 30^\circ = 2 G \frac{m^2}{L^2} \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2} \]

Центростремительное ускорение:

\[ a = \omega^2 R \]

Радиус окружности:

\[ R = \frac{L}{\sqrt{3}} \]

Тогда:

\[ \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2} = m \omega^2 \frac{L}{\sqrt{3}} \] \[ \omega^2 = \frac{3Gm}{L^3} \] \[ \omega = \sqrt{\frac{3Gm}{L^3}} \]

Ответ: \( \sqrt{\frac{3Gm}{L^3}} \)

15. Искусственный спутник

• Дано:
• Радиус Земли: \( R_З = 6400 \) км
• Ускорение свободного падения: \( g = 9.8 \) м/с²
• Найти: Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли

Решение:

Для геостационарного спутника:

\[ \frac{GM}{R^2} = g \]

Период обращения спутника равен периоду вращения Земли:

\[ T = 24 \cdot 3600 \] с \[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] \[ a = \omega^2 r = \frac{GM}{r^2} \]

Где \( r \) - радиус орбиты спутника.

Также:

\[ g = \frac{GM}{R_З^2} \]

Тогда:

\[ \frac{GM}{r^2} = \omega^2 r = (\frac{2\pi}{T})^2 r \] \[ GM = (\frac{2\pi}{T})^2 r^3 \] \[ g R_З^2 = (\frac{2\pi}{T})^2 r^3 \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{g R_З^2 T^2}{(2\pi)^2}} \] \[ r = \sqrt[3]{\frac{9.8 \cdot (6.4 \cdot 10^6)^2 \cdot (24 \cdot 3600)^2}{(2\pi)^2}} \approx 42.25 \cdot 10^6 \] м

Во сколько раз радиус орбиты спутника больше радиуса Земли:

\[ \frac{r}{R_З} = \frac{42.25 \cdot 10^6}{6.4 \cdot 10^6} \approx 6.6 \]

Ответ: примерно в 6,6 раз

16. Спутник вокруг планеты

• Дано:
• Радиус орбиты: \( r = 4.7 \cdot 10^9 \) м
• Скорость спутника: \( v = 10^4 \) м/с
• Радиус планеты: \( R = 1.5 \cdot 10^7 \) м
• Найти: Средняя плотность планеты: \( \rho \)

Решение:

Скорость спутника:

\[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \] \[ v^2 = \frac{GM}{r} \] \[ GM = v^2 r \]

Масса планеты:

\[ M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \] \[ G \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = v^2 r \] \[ \rho = \frac{3 v^2 r}{4 \pi G R^3} \] \[ \rho = \frac{3 \cdot (10^4)^2 \cdot 4.7 \cdot 10^9}{4 \pi \cdot 6.67 \cdot 10^{-11} \cdot (1.5 \cdot 10^7)^3} \approx 500 \] кг/м³

Ответ: примерно 500 кг/м³