Скорректированная задача: Турист в первый день прошёл всего маршрута, во второй день - оставшегося пути, а в третий день - оставшуюся часть маршрута. При этом во второй день он прошёл на 12 км больше, чем в третий. Найдите общую протяжённость маршрута.

Рассмотрим данную задачу. Обозначим весь маршрут как x.

1. Первый день:

• Турист прошел 1/4 всего маршрута, то есть $$ \frac{1}{4}x $$.

2. Второй день:

• Во второй день турист прошел 2/3 оставшегося пути. Сначала нужно найти, сколько пути осталось после первого дня: $$ x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x $$.
• Во второй день он прошел 2/3 от оставшегося пути, то есть $$ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}x $$.

3. Третий день:

• В третий день турист прошел оставшуюся часть маршрута. Чтобы найти эту часть, нужно из всего маршрута вычесть то, что он прошел в первый и второй дни: $$ x - \frac{1}{4}x - \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x $$.

4. Уравнение:

• Известно, что во второй день турист прошел на 12 км больше, чем в третий день. Составим уравнение: $$ \frac{1}{2}x = \frac{1}{4}x + 12 $$.

5. Решение уравнения:

• $$ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x = 12 $$
• $$ \frac{1}{4}x = 12 $$
• $$ x = 12 \cdot 4 $$
• $$ x = 48 $$

Таким образом, общая протяжённость маршрута составляет 48 км.

Ответ: 48 км