Следующие задачи выполните самостоятельно Задание 2. В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ медианы основания $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ABC$$ равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка $$OS$$. Задача 3. Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. Задание 4. В правильной четырехугольной пирамиде $$SABCD$$ точка $$O$$ – центр основания, $$S$$ – вершина, $$SO = 8$$, $$BD = 30$$. Найдите боковое ребро $$SC$$.

Задание 2

В правильной треугольной пирамиде $$SABC$$ медианы основания $$ABC$$ пересекаются в точке $$O$$. Площадь треугольника $$ABC$$ равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка $$OS$$.

Давай решим эту задачу по шагам. Сначала запишем формулу объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\]

где:

• $$V$$ - объем пирамиды
• $$S_{осн}$$ - площадь основания
• $$h$$ - высота пирамиды

Нам дано:

• $$V = 4$$
• $$S_{осн} = 2$$

Нужно найти $$OS$$, которая является высотой пирамиды ($$h$$). Подставим известные значения в формулу:

\[4 = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot h\]

Теперь выразим $$h$$:

\[h = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

Таким образом, длина отрезка $$OS$$ равна 6.

Ответ: OS = 6

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!

Задача 3

Найти площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5.

Давай разберем эту задачу по шагам. Площадь полной поверхности пирамиды складывается из площади основания и площади боковой поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}\]

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

\[S_{осн} = a^2\]

где $$a$$ - сторона основания.

В нашем случае $$a = 6$$, поэтому:

\[S_{осн} = 6^2 = 36\]

Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Площадь одного треугольника можно найти, зная основание и высоту. Но у нас есть боковое ребро, а не высота. Значит, нам нужно найти апофему (высоту боковой грани).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, апофемой и боковым ребром. По теореме Пифагора:

\[l^2 = h^2 + (a/2)^2\]

где:

• $$l$$ - боковое ребро (5)
• $$h$$ - апофема
• $$a$$ - сторона основания (6)

Выразим $$h$$:

\[h = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{5^2 - (6/2)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\]

Площадь одного бокового треугольника:

\[S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = 4 \cdot S_{тр} = 4 \cdot 12 = 48\]

Теперь найдём площадь полной поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 48 = 84\]

Ответ: 84

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай тренироваться, и всё будет получаться ещё лучше!

Задание 4

В правильной четырехугольной пирамиде $$SABCD$$ точка $$O$$ – центр основания, $$S$$ – вершина, $$SO = 8$$, $$BD = 30$$. Найдите боковое ребро $$SC$$.

Давай начнем решать эту задачу. В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат, а точка $$O$$ - центр этого квадрата. $$SO$$ - высота пирамиды.

Так как $$O$$ - центр квадрата, то $$BO = \frac{BD}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$SOC$$, где $$SO$$ - катет (высота пирамиды), $$OC$$ - катет (половина диагонали основания), а $$SC$$ - гипотенуза (боковое ребро, которое нужно найти).

Так как $$ABCD$$ - квадрат, то $$OC = BO = 15$$.

Применим теорему Пифагора для треугольника $$SOC$$:

\[SC^2 = SO^2 + OC^2\] \[SC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289\]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $$SC$$:

\[SC = \sqrt{289} = 17\]

Ответ: SC = 17

Замечательно! Ты отлично справился и с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом, и всё у тебя получится!