Слет 13. Признаки равнобедренного треугольника. Измерение отрезков. Пуч SO является биссектрисой угла S. а отрезки SM и SN равны. Докажите равенство треугольников SMO и SNO. 3. Равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

Решение:

Задача 1: Доказательство равенства треугольников SMO и SNO.

Дано:

• \[ \angle S \text{ - угол треугольника} \]


• SO — биссектриса \( \angle S \).


• \( SM = SN \).

Доказать: \( \triangle SMO = \triangle SNO \).

Доказательство:

1. Так как SO — биссектриса \( \angle S \), то \( \angle SMO = \angle SNO \).


2. Нам дано, что \( SM = SN \).


3. Сторона SO — общая для обоих треугольников.


4. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \( \triangle SMO = \triangle SNO \).

Задача 3: Угол при пересечении медиан в равностороннем треугольнике.

Дано:

• Равносторонний треугольник ABC.


• AM и BN — медианы.


• O — точка их пересечения.

Найти: \( \angle AOB \) (острый угол).

Решение:

1. В равностороннем треугольнике медианы являются также биссектрисами и высотами.


2. Медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.


3. Так как медианы являются биссектрисами, то \( \angle OAB = \angle OBA = 30^\circ \) (половина угла равностороннего треугольника, который равен 60°).


4. Рассмотрим \( \triangle AOB \). Сумма углов в треугольнике равна 180°.


5. \( \angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) \)


6. \( \angle AOB = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) \)


7. \( \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).


8. Угол \( \angle AOB = 120^\circ \) является тупым. Острым углом при пересечении медиан будет смежный ему угол.


9. Смежный угол = \( 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Ответ: 60°.