Сложите уравнения системы: a) {-4y + 5x = -3, 4y - 2x = 8; б) {3y + 5x = -9, 2y - 3x = 5.

Задание 7. Системы уравнений

Чтобы сложить уравнения в системе, нужно, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными. Это уже сделано в первой системе (пункт а).

Система а)

У нас есть система:

\( \begin{cases} -4y + 5x = -3 \ 4y - 2x = 8
\end{cases} \)

Сложим два уравнения:

\( (-4y + 5x) + (4y - 2x) = -3 + 8 \)

\( -4y + 4y + 5x - 2x = 5 \)

\( 3x = 5 \)

Теперь найдём x:

\( x = \frac{5}{3} \)

Подставим значение x в любое из уравнений, чтобы найти y. Возьмём второе уравнение:

\( 4y - 2 \times \frac{5}{3} = 8 \)

\( 4y - \frac{10}{3} = 8 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{12y}{3} - \frac{10}{3} = \frac{24}{3} \)

\( 12y - 10 = 24 \)

\( 12y = 24 + 10 \)

\( 12y = 34 \)

\( y = \frac{34}{12} = \frac{17}{6} \)

Ответ для системы а): x = \(\frac{5}{3}\), y = \(\frac{17}{6}\).

Система б)

У нас есть система:

\( \begin{cases} 3y + 5x = -9 \ 2y - 3x = 5
\end{cases} \)

Здесь нам нужно предварительно умножить уравнения, чтобы коэффициенты стали противоположными. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -5:

\( (3y + 5x = -9) \times 3 \nrightarrow 9y + 15x = -27 \)

\( (2y - 3x = 5) \times (-5) \nrightarrow -10y + 15x = -25 \)

Теперь у нас есть:

\( \begin{cases} 9y + 15x = -27 \ -10y + 15x = -25
\end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (9y + 15x) - (-10y + 15x) = -27 - (-25) \)

\( 9y + 15x + 10y - 15x = -27 + 25 \)

\( 19y = -2 \)

\( y = -\frac{2}{19} \)

Теперь найдём x. Подставим значение y в любое из исходных уравнений. Возьмём второе:

\( 2 \times (-\frac{2}{19}) - 3x = 5 \)

\( -\frac{4}{19} - 3x = 5 \)

\( -3x = 5 + \frac{4}{19} \)

\( -3x = \frac{5 \times 19}{19} + \frac{4}{19} \)

\( -3x = \frac{95 + 4}{19} \)

\( -3x = \frac{99}{19} \)

\( x = \frac{99}{19 \times (-3)} \)

\( x = -\frac{33}{19} \)

Ответ для системы б): x = -\(\frac{33}{19}\), y = -\(\frac{2}{19}\).