Случайная величина Х задана законом распределения. Найти параметр а; числовые характеристики СВ Х. Записать интегральную функцию распределения F(x). Построить график функции F(x) и многоугольник распределения. Х 14578 p 0,3 0,1 0,2 0,2 a

Решение:

1. Найдем параметр a, зная, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна равняться 1:

$$0.3 + 0.1 + 0.2 + 0.2 + a = 1$$

$$0.8 + a = 1$$

$$a = 1 - 0.8$$

$$a = 0.2$$

2. Составим ряд распределения случайной величины X:

X	1	4	5	7	8
p	0.3	0.1	0.2	0.2	0.2

3. Найдем числовые характеристики СВ X:

Математическое ожидание (среднее значение):

$$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i = 1 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.1 + 5 \cdot 0.2 + 7 \cdot 0.2 + 8 \cdot 0.2 = 0.3 + 0.4 + 1 + 1.4 + 1.6 = 4.7$$

Дисперсия:

$$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Найдем E(X^2):

$$E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.3 + 4^2 \cdot 0.1 + 5^2 \cdot 0.2 + 7^2 \cdot 0.2 + 8^2 \cdot 0.2 = 1 \cdot 0.3 + 16 \cdot 0.1 + 25 \cdot 0.2 + 49 \cdot 0.2 + 64 \cdot 0.2 = 0.3 + 1.6 + 5 + 9.8 + 12.8 = 29.5$$

Тогда:

$$D(X) = 29.5 - (4.7)^2 = 29.5 - 22.09 = 7.41$$

Среднее квадратическое отклонение:

$$\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{7.41} \approx 2.72$$

4. Запишем интегральную функцию распределения F(x):

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ 0.3, & 1 < x \le 4 \\ 0.3 + 0.1 = 0.4, & 4 < x \le 5 \\ 0.4 + 0.2 = 0.6, & 5 < x \le 7 \\ 0.6 + 0.2 = 0.8, & 7 < x \le 8 \\ 0.8 + 0.2 = 1, & x > 8 \end{cases}$$

5. Построим график функции F(x):

6. Построим многоугольник распределения:

Ответ: a = 0.2, E(X) = 4.7, D(X) = 7.41, σ(X) ≈ 2.72, интегральная функция распределения и многоугольник распределения построены выше.