Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Её распределение вероятностей: P(X= x) = k(1/5)^x * (4/5)^(4-x). Чему равно k?

Чтобы найти значение k, нужно вспомнить, что сумма всех вероятностей в распределении должна быть равна 1.

В данном случае, случайная величина X принимает значения от 0 до 4. Формула распределения вероятностей выглядит следующим образом:

• \[ P(X=x) = k \left( \frac{1}{5} \right)^x \left( \frac{4}{5} \right)^{4-x} \]

Сумма вероятностей:

• \[ \sum_{x=0}^{4} P(X=x) = 1 \]
• \[ \sum_{x=0}^{4} k \left( \frac{1}{5} \right)^x \left( \frac{4}{5} \right)^{4-x} = 1 \]
• \[ k \sum_{x=0}^{4} \left( \frac{1}{5} \right)^x \left( \frac{4}{5} \right)^{4-x} = 1 \]

Выражение в сумме представляет собой биномиальное распределение с параметрами n=4 и p=1/5. По формуле биномиального распределения, сумма вероятностей равна:

• \[ \sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x} = (p + (1-p))^n \]

В нашем случае:

• \[ \left( \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \right)^4 = \left( \frac{5}{5} \right)^4 = 1^4 = 1 \]

Таким образом, сумма вероятностей без учета множителя k уже равна 1.

• \[ k \times 1 = 1 \]
• \[ k = 1 \]

Ответ: k = 1