Случайная величина задана плотностью распределения: \(f(X)=0\) при \(x\le 0\); \(f(X)=\frac{1}{2}\sin x\) при \(0<x\le\pi\); \(f(X)=0\) при \(x>\pi\). Чему равны её основные числовые характеристики: \(M(X)\) и \(D(X)\)?

Математическое ожидание:

\(M(X)=\int_0^\pi x\cdot\frac{1}{2}\sin x\,dx=\frac{1}{2}\int_0^\pi x\sin x\,dx=\frac{\pi}{2}.\)

Сначала найдём второй начальный момент:

\(M(X^2)=\int_0^\pi x^2\cdot\frac{1}{2}\sin x\,dx=\frac{1}{2}(\pi^2-4).\)

Тогда дисперсия:

\(D(X)=M(X^2)-[M(X)]^2=\frac{\pi^2-4}{2}-\frac{\pi^2}{4}=\frac{\pi^2-8}{4}.\)

Ответ: \(M(X)=\frac{\pi}{2}\), \(D(X)=\frac{\pi^2-8}{4}\).