76. Случайные величины \( X, Y \) независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами \( \lambda \) и \( \mu \) соответственно. Докажите, что случайная величина \( X + Y \) будет распределена по закону Пуассона с параметром \( \lambda + \mu \).

Ответ:

Пусть \( X \) имеет распределение Пуассона с параметром \( \lambda \), и \( Y \) имеет распределение Пуассона с параметром \( \mu \). Это означает, что \( P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \) для \( k = 0, 1, 2, ... \), и \( P(Y=l) = \frac{e^{-\mu} \mu^l}{l!} \) для \( l = 0, 1, 2, ... \).

Нам нужно доказать, что \( Z = X + Y \) имеет распределение Пуассона с параметром \( \lambda + \mu \). То есть, мы хотим показать, что \( P(Z=n) = \frac{e^{-(\lambda + \mu)} (\lambda + \mu)^n}{n!} \) для \( n = 0, 1, 2, ... \).

Поскольку \( X \) и \( Y \) независимы, мы можем записать:

\[ P(Z=n) = P(X+Y=n) = \sum_{k=0}^{n} P(X=k, Y=n-k) = \sum_{k=0}^{n} P(X=k) P(Y=n-k) \]

Подставляя вероятности для распределения Пуассона, получаем:

\[ P(Z=n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \frac{e^{-\mu} \mu^{n-k}}{(n-k)!} \]

\[ P(Z=n) = e^{-(\lambda + \mu)} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda^k \mu^{n-k}}{k! (n-k)!} \]

Умножим и разделим на \( n! \):

\[ P(Z=n) = \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{n!} \sum_{k=0}^{n} \frac{n! \lambda^k \mu^{n-k}}{k! (n-k)!} \]

\[ P(Z=n) = \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda^k \mu^{n-k} \]

Используя биномиальную теорему, \( \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda^k \mu^{n-k} = (\lambda + \mu)^n \). Следовательно:

\[ P(Z=n) = \frac{e^{-(\lambda + \mu)} (\lambda + \mu)^n}{n!} \]

Это показывает, что \( Z = X + Y \) имеет распределение Пуассона с параметром \( \lambda + \mu \).