Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую — 2 копейки, за третью — 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран.

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию, где первый член \( a_1 = 1 \) копейка, а знаменатель \( q = 2 \). Сумма вознаграждения дана в рублях и копейках. Переведём всё в копейки:

\( 655 \text{ руб.} \ 35 \text{ коп.} = 655 \cdot 100 + 35 = 65500 + 35 = 65535 \text{ коп.} \

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Подставим известные значения:

\[ 65535 = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} \]

Упростим уравнение:

\[ 65535 = 2^n - 1 \]

Прибавим 1 к обеим частям:

\[ 65536 = 2^n \]

Чтобы найти \( n \), нужно определить, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 65536. Проверим степени двойки:

• \( 2^{10} = 1024 \)
• \( 2^{12} = 4096 \)
• \( 2^{15} = 32768 \)
• \( 2^{16} = 65536 \)

Следовательно, \( n = 16 \).

Ответ: 16