Смешанные уравнения а) Решите уравнение: 1/cos^2(x) + 3/cos(x) + 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

Краткое пояснение:

Заменим $$\frac{1}{\cos x}$$ на $$t$$ и решим квадратное уравнение. Затем найдем значения $$x$$ и выберем корни из заданного отрезка.

Решение:

а) Решение уравнения:

• Введем замену: $$t = \frac{1}{\cos x}$$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 3t + 2 = 0$$.
• Решаем квадратное уравнение: $$t^2 + 3t + 2 = 0$$. Дискриминант $$D = 3^2 - 4  1  2 = 9 - 8 = 1$$. Корни: $$t_1 = rac{-3 - 1}{2} = -2$$ и $$t_2 = rac{-3 + 1}{2} = -1$$.
• Обратная замена:
• Случай 1: $$\frac{1}{\cos x} = -2 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$$.
• Случай 2: $$\frac{1}{\cos x} = -1 \implies \cos x = -1$$.
• Находим общие решения:
• Для $$\cos x = -1$$, $$x = \pi + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$.
• Для $$\cos x = -\frac{1}{2}$$, $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π]

• Рассмотрим корни $$x = \pi + 2\pi k$$:
• При $$k = -1$$, $$x = \pi - 2\pi = -\pi$$. Этот корень не принадлежит отрезку.
• При $$k = -2$$, $$x = \pi - 4\pi = -3\pi$$. Этот корень принадлежит отрезку $$[-3.5; -2]$$.
• Рассмотрим корни $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$:
• При $$n = -1$$, $$x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3}$$. Этот корень не принадлежит отрезку.
• При $$n = -2$$, $$x = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi - 12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}$$. Этот корень принадлежит отрезку $$[-3.5; -2]$$.
• Рассмотрим корни $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$:
• При $$n = -1$$, $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{-2\pi - 6\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$. Этот корень принадлежит отрезку $$[-3.5; -2]$$.
• При $$n = 0$$, $$x = -\frac{2\pi}{3}$$. Этот корень не принадлежит отрезку.

Ответ:

• а) $$x = \pi + 2\pi k$$, $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.
• б) $$-3\pi$$, $$-\frac{10\pi}{3}$$, $$-\frac{8\pi}{3}$$.