§ 7. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 50. Решите уравнения: √1) (n+2)!/n!=110 2) (k+1)!/(k−1)!=42; 3) 8C²ⁿ₊₁ⁿ⁺¹ = 5C²ⁿ₊₂ⁿ⁺²; 4) 13C²ⁿ₊₁ⁿ⁺¹ = 8C²ⁿ⁻₁ⁿ⁻¹; 5) Cₙ³ = 4/15 Cₙ₊₂⁴.

Ответы:
1) n = 9;
2) k = 6;
3) n = 4;
4) n = 3;
5) n = 8

Решение:

1) \[\frac{(n+2)!}{n!} = 110\] \[\frac{(n+2)(n+1)n!}{n!} = 110\] \[(n+2)(n+1) = 110\] \[n^2 + 3n + 2 = 110\] \[n^2 + 3n - 108 = 0\] \[(n - 9)(n + 12) = 0\] Так как n должно быть положительным, получаем: \[n = 9\]
2) \[\frac{(k+1)!}{(k-1)!} = 42\] \[\frac{(k+1)k(k-1)!}{(k-1)!} = 42\] \[(k+1)k = 42\] \[k^2 + k - 42 = 0\] \[(k - 6)(k + 7) = 0\] Так как k должно быть положительным, получаем: \[k = 6\]
3) \[8C_{2n+1}^{n+1} = 5C_{2n+2}^{n+2}\] \[8\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!} = 5\frac{(2n+2)!}{(n+2)!(n+1)!}\] \[8\frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!} = 5\frac{(2n+2)(2n+1)!}{(n+2)(n+1)! (n+1)n!}\] \[8 = 5\frac{2(n+1)}{n+2}\] \[8(n+2) = 10(n+1)\] \[8n + 16 = 10n + 10\] \[2n = 6\] \[n = 3\]
4) \[13C_{2n+1}^{n+1} = 8C_{2n-1}^{n-1}\] \[13 \frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!} = 8 \frac{(2n-1)!}{(n-1)!n!}\] \[13 \frac{(2n+1)(2n)(2n-1)!}{(n+1)n(n-1)!n!} = 8 \frac{(2n-1)!}{(n-1)!(2n-1-(n-1))!}\] \[13 \frac{(2n+1)(2n)}{(n+1)n} = 8 \frac{1}{1}\] \[13 \frac{2(2n+1)}{(n+1)} = 8\] \[26(2n+1) = 8(n+1)\] \[52n + 26 = 8n + 8\] \[44n = -18\] \[n = -\frac{18}{44} = -\frac{9}{22}\] Очевидно, что n должно быть целым числом. Проверим условие задачи: Если n = 3: \[13C_{2(3)+1}^{3+1} = 13C_7^4 = 13 \cdot \frac{7!}{4!3!} = 13 \cdot \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 13 \cdot 35 = 455\] \[8C_{2(3)-1}^{3-1} = 8C_5^2 = 8 \cdot \frac{5!}{2!3!} = 8 \cdot \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1} = 8 \cdot 10 = 80\] Тут явно какая-то ошибка в условии. Предположим, что правая часть уравнения должна быть 8C_{2n+1}^{n-1} , а не 8C_{2n-1}^{n-1}. В этом случае: \[13C_{2n+1}^{n+1} = 8C_{2n+1}^{n-1}\] \[13 \frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!} = 8 \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(2n+1-(n-1))!}\]\[13 \frac{(2n+1)!}{(n+1)!n!} = 8 \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}\]\[\frac{13}{(n+1)!n!} = \frac{8}{(n-1)!(n+2)!}\]\[\frac{13}{(n+1)n(n-1)!n!} = \frac{8}{(n-1)!(n+2)(n+1)n!}\]\[13 = \frac{8n}{n+2}\]\[13n + 26 = 8n\]\[5n = -26\]\[n = -\frac{26}{5}\] Что тоже не является целым числом. Скорее всего опечатка.
5) \[C_n^3 = \frac{4}{15} C_{n+2}^4\] \[\frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{4}{15} \frac{(n+2)!}{4!(n-2)!}\] \[\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{6(n-3)!} = \frac{4}{15} \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!}{24(n-2)!}\] \[\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = \frac{4}{15} \frac{(n+2)(n+1)n(n-1)}{24}\] \[\frac{(n-2)}{6} = \frac{4}{15} \frac{(n+2)(n+1)}{24}\] \[\frac{(n-2)}{6} = \frac{(n+2)(n+1)}{90}\] \[15(n-2) = (n+2)(n+1)\] \[15n - 30 = n^2 + 3n + 2\] \[n^2 - 12n + 32 = 0\] \[(n - 8)(n - 4) = 0\] n = 8 или n = 4 Если n = 4: \[C_4^3 = \frac{4!}{3!1!} = 4\] \[\frac{4}{15} C_{4+2}^4 = \frac{4}{15} \frac{6!}{4!2!} = \frac{4}{15} \frac{6\cdot 5}{2} = \frac{4}{15} \cdot 15 = 4\] Значит, n = 4 подходит. Если n = 8: \[C_8^3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8\cdot 7 \cdot 6}{3\cdot 2} = 56\] \[\frac{4}{15} C_{8+2}^4 = \frac{4}{15} \frac{10!}{4!6!} = \frac{4}{15} \frac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{4}{15} \cdot 210 = 56\] Значит, n = 8 тоже подходит. При n = 4 и при n = 8, левая и правая части исходного уравнения равны.