Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть x (кг) – масса 45%-го раствора, а y (кг) – масса 97%-го раствора.

В первом случае смешали x кг 45%-го раствора, y кг 97%-го раствора и 10 кг воды. Получили (x + y + 10) кг 62%-го раствора.

Уравнение по массе кислоты:

Во втором случае смешали x кг 45%-го раствора, y кг 97%-го раствора и 10 кг 50%-го раствора. Получили (x + y + 10) кг 72%-го раствора.

Уравнение по массе кислоты:

Составим систему уравнений:

\[\begin{cases} 0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10) \\ 0.45x + 0.97y + 0.5 \cdot 10 = 0.72(x + y + 10) \end{cases}\]

Упростим систему:

\[\begin{cases} 0.45x + 0.97y = 0.62x + 0.62y + 6.2 \\ 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72x + 0.72y + 7.2 \end{cases}\] \[\begin{cases} 0.17x - 0.35y = -6.2 \\ 0.27x - 0.25y = -2.2 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 27, а второе на 17:

\[\begin{cases} 4.59x - 9.45y = -167.4 \\ 4.59x - 4.25y = -37.4 \end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе:

-5.2y = -130

y = 25

Подставим значение y в первое уравнение:

0.17x - 0.35 \cdot 25 = -6.2

0.17x - 8.75 = -6.2

0.17x = 2.55

x = 15

Ответ: 15 кг

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденное значение x (масса 45%-го раствора) соответствует условию задачи и полученным уравнениям.

Читерский прием: Для проверки решения можно использовать онлайн-калькуляторы для решения систем уравнений, чтобы убедиться в правильности найденных значений x и y.