7. Снаряд массой 50 кг, летящий вдоль рельсов со скоростью 600 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т и застревает в песке. Скорость снаряда в момент падения образует угол 45° с горизонтом. Чему равна скорость платформы после попадания снаряда, если платформа движется навстречу снаряду со скоростью 10 м/с? 8. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с её носа на корму. На какое расстояние переместится лодка, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг, длина лодки 3 м? Сопротивление воды не учитывать. 9.С какой скоростью надо бросить мяч вниз с высоты 3 м, чтобы после удара о землю он подпрыгнул на высоту 8 м? Удар считать абсолютно упругим.

Рассмотрим каждую задачу по отдельности.

1. Задача 7:

   Дано:

   • $$m_1 = 50 ext{ кг}$$ – масса снаряда
   • $$v_1 = 600 ext{ м/с}$$ – скорость снаряда
   • $$m_2 = 10 ext{ т} = 10000 ext{ кг}$$ – масса платформы с песком
   • $$\alpha = 45^\circ$$ – угол между скоростью снаряда и горизонтом
   • $$v_2 = 10 \text{ м/с}$$ – начальная скорость платформы навстречу снаряду

   Найти: $$u$$ – скорость платформы после попадания снаряда

   Решение:

   Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

   $$m_1 v_1 \cos(\alpha) - m_2 v_2 = (m_1 + m_2)u$$

   Тогда скорость платформы после попадания снаряда:

   $$u = \frac{m_1 v_1 \cos(\alpha) - m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

   Подставим численные значения:

   $$u = \frac{50 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с} \cdot \cos(45^\circ) - 10000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}}{50 \text{ кг} + 10000 \text{ кг}} \approx \frac{50 \cdot 600 \cdot 0.707 - 100000}{10050} \approx \frac{21210 - 100000}{10050} \approx -7.84 \text{ м/с}$$

   Знак «минус» означает, что платформа движется в направлении, противоположном первоначальному направлению движения снаряда.

   Ответ: \( \approx -7.84 \text{ м/с} \)

2. Задача 8:

   Дано:

   • $$m_1 = 60 \text{ кг}$$ – масса человека
   • $$m_2 = 120 \text{ кг}$$ – масса лодки
   • $$L = 3 \text{ м}$$ – длина лодки

   Найти: $$x$$ – расстояние, на которое переместится лодка

   Решение:

   Пусть человек переместился на расстояние \(L\) относительно берега, а лодка переместилась на расстояние \(x\) в противоположном направлении. Тогда можно записать, что центр масс системы «человек – лодка» не изменил своего положения, так как внешние силы отсутствуют (сопротивлением воды пренебрегаем). В начальном положении примем нос лодки за начало координат.

   $$m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot \frac{L}{2} = m_1(L - x) + m_2(\frac{L}{2} - x)$$

   $$0 + m_2 \frac{L}{2} = m_1 L - m_1 x + m_2 \frac{L}{2} - m_2 x$$

   $$0 = m_1 L - (m_1 + m_2)x$$

   $$(m_1 + m_2)x = m_1 L$$

   $$x = \frac{m_1 L}{m_1 + m_2}$$

   Подставим численные значения:

   $$x = \frac{60 \text{ кг} \cdot 3 \text{ м}}{60 \text{ кг} + 120 \text{ кг}} = \frac{180}{180} = 1 \text{ м}$$

   Ответ: \(1 \text{ м}\)

3. Задача 9:

   Дано:

   • $$h_1 = 3 \text{ м}$$ – высота, с которой бросают мяч
   • $$h_2 = 8 \text{ м}$$ – высота, на которую подпрыгнул мяч после удара

   Найти: $$v_0$$ – начальная скорость, с которой надо бросить мяч

   Решение:

   Пусть \(v_1\) – скорость мяча перед ударом о землю, а \(v_2\) – скорость мяча сразу после удара. Поскольку удар абсолютно упругий, то кинетическая энергия мяча перед ударом равна кинетической энергии мяча сразу после удара.

   $$v_1^2 = v_0^2 + 2gh_1$$

   $$v_2^2 = 2gh_2$$

   Так как удар абсолютно упругий, то $$v_1 = v_2$$. Следовательно:

   $$v_0^2 + 2gh_1 = 2gh_2$$

   $$v_0^2 = 2g(h_2 - h_1)$$

   $$v_0 = \sqrt{2g(h_2 - h_1)}$$

   Подставим численные значения, приняв \(g = 9.8 \text{ м/с}^2\):

   $$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (8 \text{ м} - 3 \text{ м})} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 5} = \sqrt{98} \approx 9.9 \text{ м/с}$$

   Ответ: \( \approx 9.9 \text{ м/с} \)