SO - высота пирамиды. Найти площадь полной поверхности пирамиды (рис. 1, 2, 5, 6). 2 Дано: АВСD – прямоугольник.

Рассмотрим рисунок 2.

Дано: ABCD – прямоугольник, SO – высота пирамиды. Стороны прямоугольника равны 6 и 8, SO = 4.

Необходимо найти площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$$S_{прямоугольника} = a \cdot b$$ $$S_{осн} = 6 \cdot 8 = 48$$

Площадь боковой поверхности состоит из площадей 4-х боковых треугольников. Т.к. основание высоты SO пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника, то боковые ребра пирамиды равны, и боковые грани – равнобедренные треугольники.

Найдем диагональ прямоугольника:

$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

Тогда половина диагонали равна 5.

Боковые грани – это треугольники ASD, BSC, ASB и CSD.

Найдем высоту боковой грани ASD, проведенную к стороне AD. Для этого рассмотрим треугольник SOE, где E – середина AD, тогда AE = 3. По теореме Пифагора:

$$SE = \sqrt{SO^2 + OE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Тогда площадь треугольника ASD равна:

$$S_{ASD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SE = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$

Аналогично, площадь треугольника BSC равна:

$$S_{BSC} = 15$$

Найдем высоту боковой грани ASB, проведенную к стороне AB. Для этого рассмотрим треугольник SOF, где F – середина AB, тогда BF = 4. По теореме Пифагора:

$$SF = \sqrt{SO^2 + OF^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Тогда площадь треугольника ASB равна:

$$S_{ASB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SF = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$$

Аналогично, площадь треугольника CSD равна:

$$S_{CSD} = 16\sqrt{2}$$

Тогда площадь боковой поверхности пирамиды равна:

$$S_{бок} = S_{ASD} + S_{BSC} + S_{ASB} + S_{CSD} = 15 + 15 + 16\sqrt{2} + 16\sqrt{2} = 30 + 32\sqrt{2}$$

Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна:

$$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 48 + 30 + 32\sqrt{2} = 78 + 32\sqrt{2}$$

Ответ: $$78 + 32\sqrt{2}$$