Со дна озера, имеющего глубину H = 10 м, медленно поднимается пузырек воздуха. У дна озера пузырек имел объем V₁ = 0,80 мм². Определите объем пузырька V₂ на расстоянии h = 4 м от поверхности воды. Давление воздуха на уровне поверхности воды равно нормальному атмосферному давлению. Силы поверхностного натяжения не учитывать, температуры воды и воздуха в пузырьке считать постоянными.

Решение:

Будем решать задачу, используя закон Бойля-Мариотта, так как температура постоянна.

Дано:

• Глубина озера: \( H = 10 \) м
• Начальный объем пузырька: \( V_1 = 0.80 \) мм³
• Расстояние от поверхности: \( h = 4 \) м
• Нормальное атмосферное давление: \( P_{атм} \)

Найти:

• Объем пузырька на расстоянии \( h \) от поверхности: \( V_2 \)

Ход решения:

1. Начальное давление у дна озера:
   Давление у дна складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба воды высотой \( H \).
   \( P_1 = P_{атм} + \rho g H \)
   где \( \rho \) — плотность воды, \( g \) — ускорение свободного падения.
2. Давление на расстоянии \( h \) от поверхности:
   Давление на высоте \( h \) от поверхности воды равно атмосферному давлению плюс гидростатическое давление столба воды высотой \( H - h \).
   \( P_2 = P_{атм} + \rho g (H - h) \)
3. Применение закона Бойля-Мариотта:
   Так как температура постоянна, произведение давления на объем постоянно:
   \( P_1 V_1 = P_2 V_2 \)
   Отсюда выразим \( V_2 \):
   \[ V_2 = V_1 \frac{P_1}{P_2} = V_1 \frac{P_{атм} + \rho g H}{P_{атм} + \rho g (H - h)} \]
4. Подстановка значений:
   Примем нормальное атмосферное давление \( P_{атм} \approx 10^5 \) Па. Плотность воды \( \rho \approx 1000 \) кг/м³, \( g \approx 10 \) м/с².
   \( \rho g H \approx 1000 \cdot 10 \cdot 10 = 10^5 \) Па.
   \( \rho g (H - h) \approx 1000 \cdot 10 \cdot (10 - 4) = 1000 10 6 = 6 10^4 \) Па = 60000 Па.
   \( P_1 \approx 10^5 + 10^5 = 2 10^5 \) Па.
   \( P_2 \approx 10^5 + 6 10^4 = 1.6 10^5 \) Па.
5. Вычисление \( V_2 \):
   \[ V_2 = 0.80 \text{ мм}³ \cdot \frac{2 10^5 \text{ Па}}{1.6 10^5 \text{ Па}} = 0.80 \text{ мм}³ \cdot 1.25 \]

Ответ: V₂ = 1 мм³.