So x³e-xdx 0 limn→∞ (1+ n 1 - n 2 + (4) - k k=0 + [π²] – Γ(3)

Решим данное выражение по частям:

Начнем с интеграла в числителе.

$$∫_0^∞ x^3e^{-x}dx$$

Это интеграл от гамма-функции, а именно Γ(4), так как $$Γ(n) = ∫_0^∞ x^{n-1}e^{-x}dx$$.

$$Γ(4) = (4-1)! = 3! = 6$$

Теперь рассмотрим предел в знаменателе:

$$lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^n = e$$

Таким образом, первая часть выражения:

$$\frac{∫_0^∞ x^3e^{-x}dx}{lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{6}{e}$$

Рассмотрим сумму:

$$\sum_{k=0}^2 \binom{4}{k} = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 1 + 4 + 6 = 11$$

Далее, рассмотрим целую часть от π²:

$$[π^2] = [9.8696...] = 9$$

Гамма-функция от 3:

$$Γ(3) = (3-1)! = 2! = 2$$

Теперь соберем все вместе:

$$\frac{6}{e} + 11 + 9 - 2 = \frac{6}{e} + 18$$

$$\frac{6}{e} + 11 + [π^2] - Γ(3) = \frac{6}{e} + 11 + 9 - 2 = \frac{6}{e} + 18$$

Ответ: $$\frac{6}{e} + 18$$