Сократи дробь \frac{5x^2 - 26x + 5}{x^3 - 125}.

Для сокращения дроби \(\frac{5x^2 - 26x + 5}{x^3 - 125}\) необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель \(5x^2 - 26x + 5\) на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения \(5x^2 - 26x + 5 = 0\). Используем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 5, b = -26, c = 5\).

\(D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576\)

\(\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24\)

Теперь найдем корни:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)

Следовательно, числитель можно разложить на множители как \(5(x - 5)(x - \frac{1}{5})\) или \((x - 5)(5x - 1)\).

2. Разложим знаменатель \(x^3 - 125\) на множители, используя формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). В данном случае \(a = x, b = 5\), поэтому:

\(x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)\)

3. Теперь сократим дробь:

\(\frac{5x^2 - 26x + 5}{x^3 - 125} = \frac{(x - 5)(5x - 1)}{(x - 5)(x^2 + 5x + 25)} = \frac{5x - 1}{x^2 + 5x + 25}\)

Таким образом, сокращенная дробь имеет вид \(\frac{5x - 1}{x^2 + 5x + 25}\).

Заполним пропуски в условии:

\(\frac{5x^2 - 26x + 5}{x^3 - 125} = \frac{\boxed{5x-1} \cdot (x - \boxed{5})}{x^2 + \boxed{5} x + \boxed{25} }\)

Ответ: \(\frac{5x-1}{x^2 + 5x + 25}\)