Сократи дробь: (2x^2 - 14x + 12) / (x^3 - 216).

Решение:

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:

\( 2x^2 - 14x + 12 \)

Вынесем общий множитель 2:

\( 2(x^2 - 7x + 6) \)

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 7x + 6 = 0 \). Дискриминант \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \). Корни \( x_1 = \frac{7 - 5}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6 \).

Таким образом, \( x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6) \).

Полностью числитель: \( 2(x - 1)(x - 6) \).

Знаменатель:

\( x^3 - 216 \)

Это разность кубов, так как \( 216 = 6^3 \).

Формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

В нашем случае \( a = x \) и \( b = 6 \).

\( x^3 - 216 = (x - 6)(x^2 + 6x + 6^2) = (x - 6)(x^2 + 6x + 36) \).

Сокращение дроби:

\( \frac{2(x - 1)(x - 6)}{(x - 6)(x^2 + 6x + 36)} \)

Сокращаем общий множитель \( (x - 6) \):

\( \frac{2(x - 1)}{x^2 + 6x + 36} \)

Таким образом, выражение принимает вид:

\( \frac{\boxed{2}\cdot(x-\boxed{1})}{x^2+\boxed{6}x+\boxed{36}} \)

Ответ: \( \frac{2(x - 1)}{x^2 + 6x + 36} \).