Сократи дробь \(\frac{150^{n+1}}{5^{2n+1} \cdot 6^{n-2}}\). В ответе запиши только число.

Решение:

Чтобы сократить дробь, нужно представить числа в числителе и знаменателе в виде простых множителей.

1. Разложим 150 на множители:

   \[ 150 = 15 \times 10 = (3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2 \times 3 \times 5^2 \]

2. Подставим разложение в числитель:

   \[ 150^{n+1} = (2 \times 3 \times 5^2)^{n+1} = 2^{n+1} \times 3^{n+1} \times (5^2)^{n+1} = 2^{n+1} \times 3^{n+1} \times 5^{2(n+1)} = 2^{n+1} \times 3^{n+1} \times 5^{2n+2} \]

3. Разложим знаменатель:

   Знаменатель уже содержит множители 5 и 6. Представим 6 как \(2 \times 3\).

   \[ 5^{2n+1} \cdot 6^{n-2} = 5^{2n+1} \cdot (2 \times 3)^{n-2} = 5^{2n+1} \cdot 2^{n-2} \cdot 3^{n-2} \]

4. Теперь запишем всю дробь:

   \[ \frac{2^{n+1} \times 3^{n+1} \times 5^{2n+2}}{5^{2n+1} \times 2^{n-2} \times 3^{n-2}} \]

5. Сократим дробь, используя правила степеней (при делении степени вычитаются):

   Для основания 2: \(n+1 - (n-2) = n+1 - n + 2 = 3\) -> \(2^3\)

   Для основания 3: \(n+1 - (n-2) = n+1 - n + 2 = 3\) -> \(3^3\)

   Для основания 5: \(2n+2 - (2n+1) = 2n+2 - 2n - 1 = 1\) -> \(5^1\)

6. Перемножим оставшиеся степени:

   \[ 2^3 \times 3^3 \times 5^1 = 8 \times 27 \times 5 \]

   \(8 \times 5 = 40\)

   \[ 40 \times 27 \]

   \(40 \times 20 = 800\)

   \(40 \times 7 = 280\)

   \[ 800 + 280 = 1080 \]

Ответ: 1080