Сократи дробь $$\frac{\sqrt{4} - 2 \cdot \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[5]{t} + \sqrt[5]{t^2}}{\sqrt[4]{4} - \sqrt[5]{t}}$$, зная, что переменные принимают только неотрицательные значения.

Решение:

Для начала упростим выражение под корнями:

\( \sqrt{4} = 2 \)

\( \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \)

Теперь подставим упрощенные значения в числитель и знаменатель:

Числитель: \( 2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[5]{t} + \sqrt[5]{t^2} \)

Знаменатель: \( \sqrt{2} - \sqrt[5]{t} \)

Выделим в числителе полный квадрат. Рассмотрим выражение \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

Попробуем привести числитель к виду \( (\sqrt{2} - \sqrt[5]{t})^2 \). Это не совпадает.

Рассмотрим другую возможность. Пусть \( x = \sqrt{2} \) и \( y = \sqrt[5]{t} \). Тогда числитель имеет вид \( x^2 - 2xy + y^2 \), что равно \( (x-y)^2 \).

Таким образом, числитель равен \( (\sqrt{2} - \sqrt[5]{t})^2 \).

Теперь дробь выглядит так: \( \frac{(\sqrt{2} - \sqrt[5]{t})^2}{\sqrt{2} - \sqrt[5]{t}} \)

Сокращаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} - \sqrt[5]{t} \) (при условии, что \( \sqrt{2} - \sqrt[5]{t} \neq 0 \), то есть \( t \neq 2^{5/2} \) ):

\( \frac{(\sqrt{2} - \sqrt[5]{t})^2}{\sqrt{2} - \sqrt[5]{t}} = \sqrt{2} - \sqrt[5]{t} \)

Возвращаясь к исходным обозначениям:

\( \sqrt{2} = \sqrt[4]{4} \)

\( \sqrt[5]{t} \)

Значит, результат сокращения равен \( \sqrt[4]{4} - \sqrt[5]{t} \).

Ответ: \( \sqrt[4]{4} - \sqrt[5]{t} \)