Сократи дробь \(\frac{x+7}{x^2+20x+91}\)

Решение:

Для сокращения дроби необходимо разложить знаменатель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 20x + 91 \).

Используем теорему Виета: \( x_1 + x_2 = -20 \) и \( x_1 \cdot x_2 = 91 \).

Подбираем числа, которые в произведении дают 91. Это могут быть 7 и 13, так как \( 7 \cdot 13 = 91 \). Проверяем их сумму: \( 7 + 13 = 20 \). Так как по теореме Виета сумма корней равна \( -20 \), то корни будут \( -7 \) и \( -13 \).

Таким образом, знаменатель можно разложить как \( (x - (-7))(x - (-13)) = (x+7)(x+13) \).

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

\[ \frac{x+7}{(x+7)(x+13)} \]

Сократим общий множитель \( (x+7) \) в числителе и знаменателе (при условии, что \( x \neq -7 \)).

\[ \frac{1}{x+13} \]

Ответ: \(\frac{1}{x+13}\)