Сократи дробь x² - 17x - 38 x² - 6x - 16

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$x^2 - 17x - 38$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 17x - 38 = 0$$

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-38) = 289 + 152 = 441$$

$$x_1 = \frac{17 + \sqrt{441}}{2} = \frac{17 + 21}{2} = \frac{38}{2} = 19$$

$$x_2 = \frac{17 - \sqrt{441}}{2} = \frac{17 - 21}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Тогда $$x^2 - 17x - 38 = (x - 19)(x + 2)$$

Знаменатель: $$x^2 - 6x - 16$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 6x - 16 = 0$$

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$

$$x_1 = \frac{6 + \sqrt{100}}{2} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{6 - \sqrt{100}}{2} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Тогда $$x^2 - 6x - 16 = (x - 8)(x + 2)$$

Исходная дробь: $$\frac{x^2 - 17x - 38}{x^2 - 6x - 16} = \frac{(x - 19)(x + 2)}{(x - 8)(x + 2)}$$

Сокращаем на (x + 2): $$\frac{(x - 19)(x + 2)}{(x - 8)(x + 2)} = \frac{x - 19}{x - 8}$$

Ответ: $$\frac{x - 19}{x - 8}$$