Сократи дробь 4x2 − 14x + 6 x3 − 27

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $$4x^2-14x+6$$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:$$2(2x^2-7x+3)$$.

Квадратный трехчлен $$2x^2-7x+3$$ разложим на множители, решив квадратное уравнение $$2x^2-7x+3=0$$.

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Тогда $$2x^2-7x+3 = 2(x-3)(x-\frac{1}{2}) = (x-3)(2x-1)$$.

Числитель: $$4x^2-14x+6 = 2(x-3)(2x-1) = (2x-1)(2(x-3))$$.

Знаменатель: $$x^3-27$$

Разность кубов: $$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$.

$$x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$$.

Сокращаем дробь:

$$\frac{4x^2-14x+6}{x^3-27}=\frac{2(2x-1)(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{2(2x-1)}{x^2+3x+9}$$.

Заполняем пропуски:

$$\frac{\boxed{2(2x-1)} \cdot (x-\boxed{3})}{x^2 + \boxed{3} x + \boxed{9}}$$.

Ответ: $$\frac{\boxed{2(2x-1)} \cdot (x-\boxed{3})}{x^2 + \boxed{3} x + \boxed{9}}$$.