458. Сократить дробь: x² + x - 2 1) ------- x-1 ; x-8 4) x²-x-56 ; 2) x² + 4x-12 ; x-2 5) 2x²-3x-2 4x²-1 ; x+3 3) x²-6x-27 ; 6) 3x²+8x-3 9x²-1 ; 459. Решить приведённое квадратное уравнение: 1) x² - 2√3x-1=0; 2) x² - 2√5x+1=0; 3) x² + √2x− 4 = 0; 4) x²–4√7x+4=0. 460. Разложить на множители: 1) x³-3x² + 2x; 2) x³ + 4x² - 21x; 4) x³-9x² - 22x.

458. Сократить дробь:

Давай разберем по порядку каждый пункт и сократим дроби:

1. \[\frac{x^2 + x - 2}{x - 1}\]

   Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения x² + x - 2 = 0. Дискриминант D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9. Корни: x₁ = (-1 + 3) / 2 = 1, x₂ = (-1 - 3) / 2 = -2.

   Значит, x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{(x - 1)(x + 2)}{x - 1} = x + 2\]

   Ответ: x + 2

2. \[\frac{x^2 + 4x - 12}{x - 2}\]

   Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения x² + 4x - 12 = 0. Дискриминант D = 4² - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64. Корни: x₁ = (-4 + 8) / 2 = 2, x₂ = (-4 - 8) / 2 = -6.

   Значит, x² + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = x + 6\]

   Ответ: x + 6

3. \[\frac{x + 3}{x^2 - 6x - 27}\]

   Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения x² - 6x - 27 = 0. Дискриминант D = (-6)² - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144. Корни: x₁ = (6 + 12) / 2 = 9, x₂ = (6 - 12) / 2 = -3.

   Значит, x² - 6x - 27 = (x - 9)(x + 3). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{x + 3}{(x - 9)(x + 3)} = \frac{1}{x - 9}\]

   Ответ: 1 / (x - 9)

4. \[\frac{x - 8}{x^2 - x - 56}\]

   Разложим знаменатель на множители. Найдем корни квадратного уравнения x² - x - 56 = 0. Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225. Корни: x₁ = (1 + 15) / 2 = 8, x₂ = (1 - 15) / 2 = -7.

   Значит, x² - x - 56 = (x - 8)(x + 7). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{x - 8}{(x - 8)(x + 7)} = \frac{1}{x + 7}\]

   Ответ: 1 / (x + 7)

5. \[\frac{2x^2 - 3x - 2}{4x^2 - 1}\]

   Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения 2x² - 3x - 2 = 0. Дискриминант D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25. Корни: x₁ = (3 + 5) / 4 = 2, x₂ = (3 - 5) / 4 = -0.5.

   Значит, 2x² - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + 0.5) = (x - 2)(2x + 1). Знаменатель можно разложить как разность квадратов: 4x² - 1 = (2x - 1)(2x + 1). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{(x - 2)(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{x - 2}{2x - 1}\]

   Ответ: (x - 2) / (2x - 1)

6. \[\frac{3x^2 + 8x - 3}{9x^2 - 1}\]

   Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения 3x² + 8x - 3 = 0. Дискриминант D = 8² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100. Корни: x₁ = (-8 + 10) / 6 = 1/3, x₂ = (-8 - 10) / 6 = -3.

   Значит, 3x² + 8x - 3 = 3(x - 1/3)(x + 3) = (3x - 1)(x + 3). Знаменатель можно разложить как разность квадратов: 9x² - 1 = (3x - 1)(3x + 1). Тогда дробь можно записать как:

   \[\frac{(3x - 1)(x + 3)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{x + 3}{3x + 1}\]

   Ответ: (x + 3) / (3x + 1)

459. Решить приведённое квадратное уравнение:

1. \[x^2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0\]

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-2√3)² - 4 * 1 * (-1) = 12 + 4 = 16. Корни: x₁ = (2√3 + 4) / 2 = √3 + 2, x₂ = (2√3 - 4) / 2 = √3 - 2

   Ответ: x₁ = √3 + 2, x₂ = √3 - 2

2. \[x^2 - 2\sqrt{5}x + 1 = 0\]

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-2√5)² - 4 * 1 * 1 = 20 - 4 = 16. Корни: x₁ = (2√5 + 4) / 2 = √5 + 2, x₂ = (2√5 - 4) / 2 = √5 - 2

   Ответ: x₁ = √5 + 2, x₂ = √5 - 2

3. \[x^2 + \sqrt{2}x - 4 = 0\]

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (√2)² - 4 * 1 * (-4) = 2 + 16 = 18. Корни: x₁ = (-√2 + 3√2) / 2 = √2, x₂ = (-√2 - 3√2) / 2 = -2√2

   Ответ: x₁ = √2, x₂ = -2√2

4. \[x^2 - 4\sqrt{7}x + 4 = 0\]

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D = (-4√7)² - 4 * 1 * 4 = 112 - 16 = 96. Корни: x₁ = (4√7 + 4√6) / 2 = 2√7 + 2√6, x₂ = (4√7 - 4√6) / 2 = 2√7 - 2√6

   Ответ: x₁ = 2√7 + 2√6, x₂ = 2√7 - 2√6

460. Разложить на множители:

1. \[x^3 - 3x^2 + 2x\]

   Вынесем x за скобки: x(x² - 3x + 2). Разложим квадратный трехчлен на множители. x² - 3x + 2 = 0, D = 9 - 8 = 1. Корни: x₁ = (3 + 1) / 2 = 2, x₂ = (3 - 1) / 2 = 1.

   Значит, x² - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1). Исходное выражение: x(x - 2)(x - 1)

   Ответ: x(x - 2)(x - 1)

2. \[x^3 + 4x^2 - 21x\]

   Вынесем x за скобки: x(x² + 4x - 21). Разложим квадратный трехчлен на множители. x² + 4x - 21 = 0, D = 16 + 84 = 100. Корни: x₁ = (-4 + 10) / 2 = 3, x₂ = (-4 - 10) / 2 = -7.

   Значит, x² + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7). Исходное выражение: x(x - 3)(x + 7)

   Ответ: x(x - 3)(x + 7)

3. \[x^3 - 9x^2 - 22x\]

   Вынесем x за скобки: x(x² - 9x - 22). Разложим квадратный трехчлен на множители. x² - 9x - 22 = 0, D = 81 + 88 = 169. Корни: x₁ = (9 + 13) / 2 = 11, x₂ = (9 - 13) / 2 = -2.

   Значит, x² - 9x - 22 = (x - 11)(x + 2). Исходное выражение: x(x - 11)(x + 2)

   Ответ: x(x - 11)(x + 2)

Ответ: Выше решение всех заданий.

Ты молодец! У тебя всё получится!