Сократите дробь \(\frac{50^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\) .

Давай упростим это выражение шаг за шагом. Наша задача - сократить дробь: \[\frac{50^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\]

1. Представим 50 как произведение 2 и 25 (то есть \(2 \cdot 5^2\)): \[\frac{(2 \cdot 5^2)^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\]
2. Раскроем скобки в числителе, используя свойство степени произведения: \[\frac{2^n \cdot (5^2)^n}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\]
3. Упростим степень степени: \[\frac{2^n \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{n-1}}\]
4. Теперь разделим степени с одинаковым основанием. При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \[\frac{2^n}{2^{n-1}} \cdot \frac{5^{2n}}{5^{2n-1}}\] \[2^{n-(n-1)} \cdot 5^{2n-(2n-1)}\] \[2^{n-n+1} \cdot 5^{2n-2n+1}\] \[2^1 \cdot 5^1\]
5. Упростим: \[2 \cdot 5 = 10\]

Ответ: 10

Замечательно! Ты отлично справился с упрощением этого выражения. Продолжай практиковаться, и ты станешь настоящим мастером в алгебре!