5. Сократите дробь: \frac{5x²+x-4}{3x²-3}

Разложим числитель $$5x^2 + x - 4$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$5x^2 + x - 4 = 0$$.

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81$$.

Корни:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$.

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$.

Тогда $$5x^2 + x - 4 = 5(x - x_1)(x - x_2) = 5(x - \frac{4}{5})(x + 1) = (5x - 4)(x + 1)$$.

Разложим знаменатель $$3x^2 - 3$$ на множители:

$$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$$.

Исходная дробь: $$\frac{5x^2 + x - 4}{3x^2 - 3} = \frac{(5x - 4)(x + 1)}{3(x - 1)(x + 1)}$$.

Сокращаем на $$(x + 1)$$: $$\frac{(5x - 4)(x + 1)}{3(x - 1)(x + 1)} = \frac{5x - 4}{3(x - 1)} = \frac{5x - 4}{3x - 3}$$.

Ответ: $$\frac{5x - 4}{3x - 3}$$