6. Сократите дробь: 1) √m + √n; m-n √ - √ √x + x 4) √x + √x √x-7 2) 5) Na-No x-4 4. 3) x-2 7. Упростите выражение: 5x2 + 35x x-27 x² +33x +9' 6)

Привет, ученик! Сейчас помогу тебе разобраться с сокращением дробей. Давай рассмотрим каждую дробь по порядку.

1) \[\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m - n}\]

Заметим, что знаменатель можно разложить как разность квадратов: \[m - n = (\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})\]

Тогда дробь можно переписать как:

\[\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})}\]

Сокращаем на \[(\sqrt{m} + \sqrt{n})\]:

\[\frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}\]

2) \[\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}\]

Представим числитель как разность квадратов: \[\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})\]

Тогда дробь можно переписать как:

\[\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}\]

Сокращаем на \[(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})\]:

\[\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}\]

3) \[\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}\]

Заметим, что \[\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2\] и \[4 = 2^2\]. Тогда числитель можно представить как разность квадратов.

\[\frac{(\sqrt[6]{x})^2 - 2^2}{\sqrt[6]{x} - 2} = \frac{(\sqrt[6]{x} - 2)(\sqrt[6]{x} + 2)}{\sqrt[6]{x} - 2}\]

Сокращаем на \[(\sqrt[6]{x} - 2)\]:

\[\sqrt[6]{x} + 2\]

4) \[\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\]

Вынесем в числителе \[\sqrt[4]{x}\] за скобки: \[\sqrt[4]{x^3} + x = \sqrt[4]{x}(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3})\]

\[\frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3})}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\]

Что-то тут не сходится. Проверьте условие. Должно быть так:

\[\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \frac{\sqrt[4]{x}(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3})}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\]

Если в числителе вынесем \(\sqrt[4]{x}\), то получим:

\[\frac{\sqrt[4]{x} (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3})}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} = \sqrt[4]{x} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3}}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\]

Если числитель был бы \[\sqrt[4]{x^3} + x = \sqrt[4]{x}(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x^3})\]

тогда дробь можно переписать так:

\[\frac{\sqrt[4]{x} (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x})}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}\]

Сокращаем на \[(\sqrt{x} + \sqrt[4]{x})\]:

\[\sqrt[4]{x}\]

5) \[\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x}}\]

Вынесем в знаменателе \(\sqrt[8]{5x}\) за скобки:

\[\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x}(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})}\]

Дальше сократить не получится.

6) \[\frac{x - 27}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}\]

Заметим, что числитель можно представить как разность кубов: \[x - 27 = (\sqrt[3]{x})^3 - 3^3 = (\sqrt[3]{x} - 3)((\sqrt[3]{x})^2 + 3\sqrt[3]{x} + 9)\]

Тогда дробь можно переписать как:

\[\frac{(\sqrt[3]{x} - 3)(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}\]

Сокращаем на \[(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)\]:

\[\sqrt[3]{x} - 3\]