Сократите дробь x+y / ³√x+³√y

Разбираемся:

• Шаг 1: Представим числитель как сумму кубов:

\[x + y = (\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3\]

• Шаг 2: Разложим сумму кубов по формуле:

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

Применим эту формулу к числителю:

\[(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = (\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} + (\sqrt[3]{y})^2)\]

• Шаг 3: Запишем сокращенную дробь:

\[\frac{x+y}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = \frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} + (\sqrt[3]{y})^2)}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}\]

• Шаг 4: Сократим общие множители:

\[\frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y})((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} + (\sqrt[3]{y})^2)}{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}} = (\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} + (\sqrt[3]{y})^2\]

\[= \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2}\]