Сократите дробь: (3a^2 - 6ab + 3b^2) / (6a^2 - 6b^2)

Решение:

Чтобы сократить дробь, сначала вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель:

\( 3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2) \)

Выражение в скобках является полным квадратом разности: \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \).

Следовательно, числитель равен: \( 3(a-b)^2 \).

Знаменатель:

\( 6a^2 - 6b^2 = 6(a^2 - b^2) \)

Выражение в скобках является разностью квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

Следовательно, знаменатель равен: \( 6(a-b)(a+b) \).

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

\[ \frac{3(a-b)^2}{6(a-b)(a+b)} \]

Сократим дробь, убрав общий множитель \( 3(a-b) \) из числителя и знаменателя:

\[ \frac{\cancel{3}(\cancel{a-b})(a-b)}{\cancel{6} \cdot 2 \cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)} \]

Ответ: $$\frac{a-b}{2(a+b)}$$