Сократите дробь: (7m^2 + 7m + 7) / (m^3 - 1)

Решение:

Заданную дробь необходимо сократить. Для этого разложим знаменатель на множители, используя формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

В нашем случае \( a = m \) и \( b = 1 \), поэтому:

\[ m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1) \]

Теперь рассмотрим числитель. Вынесем общий множитель 7:

\[ 7m^2 + 7m + 7 = 7(m^2 + m + 1) \]

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

\[ \frac{7(m^2 + m + 1)}{(m - 1)(m^2 + m + 1)} \]

Сократим общий множитель \( (m^2 + m + 1) \) (при условии, что \( m^2 + m + 1 \neq 0 \). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \( D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \). Так как \( D < 0 \), то \( m^2 + m + 1 \) всегда положительно и никогда не равно нулю).

После сокращения получим:

\[ \frac{7}{m - 1} \]

Ответ: \( \frac{7}{m - 1} \).