Сократите дробь: а) \(\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}\) б) \(\frac{a - b}{a^3 - b^3}\) в) \(\frac{(a+b)^3}{a^3 + b^3}\) г) \(\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}\)

Решение:

Для сокращения дробей применим формулы разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) и суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \), а также разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

а) \(\frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}\)

1. Знаменатель можно разложить по формуле суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).
2. Подставим разложенный знаменатель в дробь: \( \frac{a^2 - ab + b^2}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \).
3. Сократим одинаковые множители \( a^2 - ab + b^2 \) в числителе и знаменателе.

\( \frac{\cancel{a^2 - ab + b^2}}{(a+b)\cancel{(a^2 - ab + b^2)}} = \frac{1}{a+b} \)

б) \(\frac{a - b}{a^3 - b^3}\)

1. Знаменатель можно разложить по формуле разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \).
2. Подставим разложенный знаменатель в дробь: \( \frac{a-b}{(a-b)(a^2 + ab + b^2)} \).
3. Сократим одинаковые множители \( a-b \) в числителе и знаменателе.

\( \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{(a-b)}(a^2 + ab + b^2)} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2} \)

в) \(\frac{(a+b)^3}{a^3 + b^3}\)

1. Разложим знаменатель по формуле суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \).
2. Подставим разложенный знаменатель в дробь: \( \frac{(a+b)^3}{(a+b)(a^2 - ab + b^2)} \).
3. Сократим множитель \( a+b \) в числителе и знаменателе: \( \frac{(a+b)^2 \cancel{(a+b)}}{\cancel{(a+b)}(a^2 - ab + b^2)} = \frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2} \).
4. Раскроем скобки в числителе: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

\( \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - ab + b^2} \)

г) \(\frac{a^3 - b^3}{a^2 - b^2}\)

1. Разложим числитель по формуле разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \).
2. Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
3. Подставим разложенные выражения в дробь: \( \frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a+b)} \).
4. Сократим множитель \( a-b \) в числителе и знаменателе.

\( \frac{\cancel{(a-b)}(a^2 + ab + b^2)}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{a+b} \)

Ответ: а) \(\frac{1}{a+b}\); б) \(\frac{1}{a^2 + ab + b^2}\); в) \(\frac{(a+b)^2}{a^2 - ab + b^2}\); г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a+b}\).