Сократите дробь: a) (x³ - x² + x + 3) / (x² - 2x + 3) 6) (x³ + x² + 3x - 5) / (x² + 2x + 5) B) (x³ - 1) / (x³ + 2x² + 2x + 1) г) (x³ + 8) / (x³ - 4x² + 8x - 8)

Решение:

а)

Мы уже выполняли деление в задании 2.27 а). Многочлен x³ - x² + x + 3 делится на x² - 2x + 3 без остатка, частное равно x + 1.

Следовательно, дробь сокращается до частного.

Ответ: x + 1

б)

Аналогично заданию 2.27 б), многочлен x³ + x² + 3x - 5 делится на x² + 2x + 5 без остатка, частное равно x - 1.

Ответ: x - 1

в)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) (разность кубов).

Знаменатель: x³ + 2x² + 2x + 1. Попробуем найти корень. Если x = -1, то (-1)³ + 2(-1)² + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0. Значит, (x + 1) является множителем.

Разделим столбиком x³ + 2x² + 2x + 1 на (x + 1):

(x³ + 2x² + 2x + 1) / (x + 1) = x² + x + 1.

Итак, знаменатель равен (x + 1)(x² + x + 1).

Теперь сокращаем дробь:

\[ \frac{(x - 1)(x² + x + 1)}{(x + 1)(x² + x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1} \]

Ответ: (x - 1) / (x + 1)

г)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4) (сумма кубов).

Знаменатель: x³ - 4x² + 8x - 8. Попробуем найти корень. Если x = 2, то 2³ - 4(2)² + 8(2) - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0. Значит, (x - 2) является множителем.

Разделим столбиком x³ - 4x² + 8x - 8 на (x - 2):

(x³ - 4x² + 8x - 8) / (x - 2) = x² - 2x + 4.

Итак, знаменатель равен (x - 2)(x² - 2x + 4).

Теперь сокращаем дробь:

\[ \frac{(x + 2)(x² - 2x + 4)}{(x - 2)(x² - 2x + 4)} = \frac{x + 2}{x - 2} \]

Ответ: (x + 2) / (x - 2)