Сократите дробь $$\frac{5^{2n+2} \cdot 3^{n+5}}{75^{n+2}}$$

Решение:

Чтобы сократить дробь, нужно привести основания степеней к общим множителям. Основание 75 можно разложить на множители 3 и 25, а 25 — на 5 в квадрате. Таким образом, \( 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 \).

Теперь подставим это в знаменатель:

\( 75^{n+2} = (3 \cdot 5^2)^{n+2} = 3^{n+2} \cdot (5^2)^{n+2} = 3^{n+2} \cdot 5^{2(n+2)} = 3^{n+2} \cdot 5^{2n+4} \)

Теперь запишем всю дробь с разложенным знаменателем:

\( \frac{5^{2n+2} \cdot 3^{n+5}}{3^{n+2} \cdot 5^{2n+4}} \)

Теперь применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\( 5^{(2n+2) - (2n+4)} \cdot 3^{(n+5) - (n+2)} \)

Вычислим показатели степеней:

\( (2n+2) - (2n+4) = 2n + 2 - 2n - 4 = -2 \)

\( (n+5) - (n+2) = n + 5 - n - 2 = 3 \)

Таким образом, дробь равна:

\( 5^{-2} \cdot 3^3 \)

Перепишем отрицательную степень как дробь:

\( \frac{3^3}{5^2} \)

Вычислим значения степеней:

\( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)

\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)

Итоговое выражение:

\( \frac{27}{25} \)

Ответ: \( \frac{27}{25} \).